Đại số.

[denyoblur]

1) Cho biểu thức [tex]xy(x-2)(y+6)+12x^2 -24x +3y^2 + 18y +36[/tex]. Chứng minh biểu thức luôn dương với mọi giá trị [tex]x,\,y.[/tex]
2) Cho [tex]a[/tex] và [tex]b[/tex] là hai số thỏa mãn đẳng thức: [tex]a^2 + b^2 +3ab -8a - 8b -2\sqrt{3ab}+ 19=0 [/tex]. Lập phương trình có hai nghiệm [tex]a, b.[/tex]
3) Cho [tex]x,\,y,\,z[/tex] là 3 số thực tùy ý, chứng minh: [tex]x^2 + y^2 +z^2 -yz-4x-3y\ge-7[/tex]
Nhờ mọi người giúp đỡ.

[Alexman113]

3) Cho [tex]x,\,y,\,z[/tex] là 3 số thực tùy ý, chứng minh: [tex]x^2 + y^2 +z^2 -yz-4x-3y\ge-7[/tex]

Bạn ôn thi vào [tex]10[/tex] thì hiển nhiên là học lớp [tex]9[/tex] rồi   , chắc chỉ có chơi kiểu bình phương không âm thôi, nhẹ nhàng  
Ta có: [tex]x^2+y^2+z^2-yz-4x-3y+7=\left(x-2\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(y-2\right)^2+\left(\dfrac{y}{2}-z\right)^2\ge0.\,\,\,\,\,\blacksquare[/tex]

[Alexman113]

2) Cho [tex]a[/tex] và [tex]b[/tex] là hai số thỏa mãn đẳng thức: [tex]a^2 + b^2 +3ab -8a - 8b -2\sqrt{3ab}+ 19=0 [/tex]. Lập phương trình có hai nghiệm [tex]a, b.[/tex]

Đặt: [tex]P=a^2 + b^2 +3ab -8a - 8b -2\sqrt{3ab}+19[/tex]
          [tex]=\left(a+b\right)^2-8\left(a+b\right)+16+ab-2\sqrt{ab}\times\sqrt{3}+3[/tex]
          [tex]=\left(a+b-4\right)^2+\left(\sqrt{ab}-\sqrt{3}\right)^2[/tex]
Vì [tex]P=0\Rightarrow \begin{cases}a+b=4\\ab=3\end{cases}[/tex]
Vậy: [tex]a,\,b[/tex] chính là hai nghiệm của phương trình bậc hai: [tex]X^2-4X+3=0[/tex]

[Alexman113]

1) Cho biểu thức [tex]xy(x-2)(y+6)+12x^2 -24x +3y^2 + 18y +36[/tex]. Chứng minh biểu thức luôn dương với mọi giá trị [tex]x,\,y.[/tex]

Đặt: [tex]P=xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+12x^2-24x+3y^2+18y+36[/tex]
          [tex]=xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+12x\left(x-2\right)+3y\left(y+6\right)+36[/tex]
          [tex]=x\left(x-2\right)\left(y\left(y+6\right)+12\right)+3\left(y\left(y+6\right)+12\right)[/tex]
          [tex]=\left(x\left(x+2\right)+3\right)\left(y\left(y+6\right)+12\right)[/tex]
          [tex]=\left(x^2-2x+3\right)\left(y^2+6y+12\right)[/tex]
          [tex]=\left(\left(x-1\right)^2+2\right)\left(\left(y+3\right)^2+3\right)[/tex]
          [tex]\ge 2\times 3=6>0,\,\forall x,\,y\in\mathbb{R}[/tex]