Bài 3: Một điện trờ r=1 ôm được mắc nối tiếp với 1 biến trở R . Hiệu điện thế đoạn mạch là U
a) Tính I theo U,r và R
b) Tính công suất tỏa nhiệt trên R
c) Muốn công suất tỏa nhiệt lớn nhất thì tỉ số R/r bằng bao nhiêu ?
a) Điện trở tương đương: [tex]R_{td}= R+ r[/tex]
CĐDĐ: [tex]I = \frac{U}{R_{td}}= \frac{U}{R+r}[/tex]
b) Công suất toả nhiệt trên R:
[tex]P = RI^{2}= R. \left(\frac{U}{R+r}\right)^{2}[/tex]
c) Ta có: [tex]P = RI^{2}= R. \left(\frac{U}{R+r}\right)^{2}= \frac{RU^{2}}{R^{2}+2Rr+r^{2}}= \frac{U^{2}}{R + \frac{r^{2}}{R}+2r}[/tex]
Để công suất trên R max thì mẫu số trên phải min, do đó tổng hai số: [tex]\left(R + \frac{r^{2}}{R} \right)_{min}[/tex]
Vì đây là hai số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
[tex]R + \frac{r^{2}}{R} \geq 2.\sqrt{R.\frac{r^{2}}{R}}= 2\sqrt{r^{2}}= 2r = const[/tex] (vế phải là một hằng số)
[tex]R + \frac{r^{2}}{R} \geq 2r \Rightarrow \left(R + \frac{r^{2}}{R} \right)_{min} = 2r[/tex]
>>> [tex]\left(R + \frac{r^{2}}{R} \right)_{min}[/tex] khi dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra
Do đó để dấu bằng xảy ra thì: [tex]R = \frac{r^{2}}{R} \Rightarrow R = r[/tex]
Vậy [tex]R = r\Rightarrow P_{max}[/tex] hay
~O) Nhắc lại về bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương x, y:
[tex]x + y \geq 2\sqrt{x.y}[/tex]
Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi: x= y
