Hệ phương trình mũ.

[_Bella Swan_]

Chứng minh rằng [tex]\forall m>0,[/tex] hệ phương trình

[tex]\begin{cases}10^x-10^y=\log\left(1+x\right)-\log\left(1+y\right)\\y-x=m\end{cases}[/tex]

có nghiệm duy nhất.
Mong mọi người giúp em bài này với ạ, Em cảm ơn rất nhiều!  

[Mai Nguyên]

Có
[tex]\begin{cases} 10^x-10^y=\log (1+x) - \log(1+y) \\ y-x=m \end{cases} \\ \leftrightarrow \begin{cases} y=x+m \\ 10^{x+m}-10^x +\log (1+x) -\log (1+x+m)=0 \end{cases} [/tex]

Xét
 [tex]f(x)=10^{x+m}-10^x +\log (1+x) -\log (1+x+m) \\ f'(x)=10^{x+m}.\ln 10 -10^x.\ln 10+\dfrac{1}{(1+x).\ln 10}-\dfrac{1}{(1+x+m).\ln 10}[/tex]

Với
[tex]m>0 \leftrightarrow x+m >x, \ \dfrac{1}{1+x}>\dfrac{1}{x+1+m} \rightarrow 10^{x+m}>10^x \\ \rightarrow 10^{x+m}.\ln 10 -10^x.\ln 10+\dfrac{1}{(1+x).\ln 10}-\dfrac{1}{(1+x+m).\ln 10} >0 [/tex]

[tex]\rightarrow[/tex] [tex] f(x) [/tex] đồng biến với [tex]m>0[/tex]
[tex]\rightarrow f(x)=0[/tex] có nghiệm duy nhất

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất