Nhờ thầy cô giải giúp:
2x[tex]2x\log_{3} x - 4\log_{3} x - x + 1 > 0[/tex]
Đ/a: x > 3 và 0 < x < 1
Bài toán được trích từ đề thi chuyên Vĩnh Phúc khối B, D.
câu 2: cho em hỏi về cách trình bày bài toán: Vd: (x-1).(x-2) = 0, thì ta biểu diễn các nghiệm bằng dấu [ (ngoặc vuông) còn gọi là dấu "hoặc". nhưng em có thể viết X=1 "và" x=2 được không hay x=1 "hoặc" x=2 ạ?
Câu 1: bạn viết sai đề thì phải [tex]2x\log_{3} x - 4\log_{3} x - x + 1 > 0[/tex]
Điều kiện: [tex]x>0[/tex]
[tex]2x\log_{3} x - 4\log_{3} x - x + 1 > 0[/tex]
[tex] \leftrightarrow (2x\log_{3} x - x) -(4\log_{3} x - 1) > 0[/tex]
[tex]\leftrightarrow x(\log_{3} \frac{x^{2}}{3}) -\log_{3}\frac{x^{4}}{3} > 0[/tex]
[tex]\leftrightarrow \log_{3} \frac{(\frac{x^{2}}{3})^{x}}{\frac{x^{4}}{3}} > 0[/tex]
[tex]\leftrightarrow \frac{(\frac{x^{2}}{3})^{x}}{\frac{x^{4}}{3}} > 1[/tex]
[tex]\leftrightarrow x^{2x}.3>x^{4}.3^{x}[/tex]
[tex]\leftrightarrow x^{4}(x^{2x-4}.3-3^{x})>0[/tex]
[tex]\leftrightarrow x^{2x-4}.3-3^{x}>0[/tex]
[tex]\leftrightarrow x^{2x-4}>3^{x-1}[/tex] (*)
Xét [tex]x<1[/tex] từ (*) ta có
[tex]\leftrightarrow 2x-4<(x-1)\log_{x} 3[/tex]
[tex]\leftrightarrow (x-1)(2-\log_{x}3)-2<0[/tex]
[tex]\leftrightarrow (x-1)(\log_{x}\frac{x^{2}}{3})-2<0[/tex]
[tex]\leftrightarrow \log_{x}\frac{(\frac{x^{2}}{3})^{x-1}}{x^{2}}<0[/tex]
[tex]\leftrightarrow \frac{x^{2x-4}}{3^{x-1}} > 1[/tex] (1)
Ta thấy [tex]x^{2x-4}>1[/tex] với mọi [tex]x<1[/tex] và [tex]3^{x-1}<1 \ \forall \ x<1 [/tex] nên biểu thức (1) luôn luôn đúng với mọi [tex]0<x<1[/tex]
Xét [tex]x>1[/tex] từ (*) ta có:
[tex]2x-4>(x-1)\log_{x}3[/tex]
[tex] \leftrightarrow (x-1)(2-\log_{x}3)-2>0[/tex]
[tex] \leftrightarrow (x-1)(\log_{x}\frac{x^{2}}{3})-2>0[/tex]
[tex] \leftrightarrow \log_{x}\frac{(\frac{x^{2}}{3})^{x-1}}{x^{2}}>0[/tex]
[tex] \leftrightarrow \frac{x^{2x-4}}{3^{x-1}} > 1[/tex] (2)
Xét [tex]x<3[/tex] thì [tex](2x-4)<(x-1)[/tex] và [tex]x<3[/tex]
[tex] \rightarrow \frac{x^{2x-4}}{3^{x-1}} < 1[/tex] (2) (sai nên loại)
Xét [tex]x \geq 3[/tex] thì [tex](2x-4) \geq (x-1)[/tex] và [tex]x \geq 3[/tex]
Nên (2) luôn luôn đùng với mọi [tex]x>3[/tex]
Vậy bất phương trình có nghiệm nằm trong khoảng [tex]0<x<1[/tex] hoặc [tex] x>3[/tex]
