Bài 2 : Với a,b,c là 3 cạnh của tam giác .CMR
[tex]\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}}<2\left( \frac{1}{(a+b)(b+c)}+\frac{1}{(a+c)(b+c)}+\frac{1}{(a+b)(a+c)}\right)[/tex]
Cách 2:
Có bài toán phụ sau: cho [tex]a,\,b,\,c[/tex] là ba cạnh của một tam giác thì [tex]\dfrac{1}{a+b},\,\dfrac{1}{b+c},\,\dfrac{1}{c+a}[/tex] cũng là ba cạnh của tam giác.
Thật vậy: [tex]\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\geq\dfrac{4}{a+c+2b}>\dfrac{4}{a+c+a+c}=\dfrac{2}{a+c}>\dfrac{1}{a+c}[/tex]
Tương tự: [tex]\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}>\dfrac{1}{a+b};\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}>\dfrac{1}{b+c}[/tex]
Vậy ta có điều phải chứng minh, từ ý đó ta đưa về ý tưởng để giải quyết bài toán như sau:
Đặt: [tex]x=\dfrac{1}{a+b},\,y=\dfrac{1}{b+c},\,z=\dfrac{1}{c+a}[/tex] thì bài toán đưa về bài toán quen thuộc, chứng minh: [tex]x^2+y^2+z^2<2\left(xy+yxz+xz\right)\,\,\,\blacksquare[/tex] 
