BẤT ĐẲNG THỨC

[Trần Anh Tuấn]

Nhờ mọi người giải hộ em

Bài 1 : Cho [tex]a,b,c[/tex] là 3 số thực dương . CMR

[tex](a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ca+a^{2})\geq \frac{1}{3}abc(a^{3}+b^{3}+c^{3})[/tex]

Bài 2 : Cho [tex]a,b,c[/tex] là 3 số thực dương thoả mãn

[tex]a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}[/tex]

CMR :

[tex]\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{4}+b^{2}c^{2}+c^{4}}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{c^{4}+a^{2}c^{2}+a^{4}}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{a^{4}+b^{2}a^{2}+b^{4}}}\geq \sqrt{3}[/tex]

[Mai Nguyên]

Mới chém đc bài 1 mà dài quá, thôi em coi tạm ^^
Chị ký hiệu tắt lung tung, em ráng hỉu ^^
[tex]BDT \leftrightarrow \Large \Pi (a^3+b^3) \geq \dfrac{1}{3}abc(\sum a^3)(a+b)(b+c)(c+a) [/tex]
Có [tex]\Large \Pi (a+b) \geq \dfrac{8}{9}(\sum a)(\sum ab)[/tex] (nhân hết ra là thấy )
[tex]a^3+b^3 \geq a^2b+b^2a[/tex]
Áp dụng vào có
[tex]VT \geq \dfrac{8}{9} (\sum a^3).(\sum a^3.b^3) \geq \dfrac{4}{9} (\sum a^3).(\sum (ab)^2bc + \sum ab(bc)^2) = \dfrac{4}{9} (\sum a^3).abc(\sum a^2b + \sum b^2a) [/tex]
Đến đây để c/m bdt ta phải chứng minh được [tex]\dfrac{4}{9}. (\sum a^2b + \sum b^2a)  \geq \dfrac{1}{3}(a+b)(b+c)(c+a) \leftrightarrow \sum a^2b + \sum b^2a \geq 6abc[/tex] đúng vì [tex]\sum a^2b \geq 3abc[/tex] (Cô si), cái kia tương tự là ra