Bài 3 : Cho hàm số
[tex]f(x)=pcosx+qsinx khi x\leq 0[/tex]
[tex]f(x)=px+q+1 khi x>0[/tex]
CMR với mọi cách chọn [tex]p,q[/tex] hàm [tex]f(x)[/tex] không thể có đạo hàm tại điểm x=0
Em tính giới hạn trong hai trường hợp :
Khi x < 0 và tiến về 0 ta có :
[tex]lim _{x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{x}= lim _{x\rightarrow 0}\frac{pcosx + qsinx }{x} = lim _{x\rightarrow 0}\frac{pcosx}{x} + lim _{x\rightarrow 0}\frac{qsinx }{x}[/tex]
Số hạng đầu tiên tiến tới vố cực khi p khác không ; còn khi p = 0 thì giới hạn thu được là q
Khi x > 0 và tiến về 0 ta có :
[tex]lim _{x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{x}= lim _{x\rightarrow 0}(px + q + 1 ) = q+1[/tex]
Hai kết quả thu được khác nhau. Vậy hàm số đã cho không tồn tại đạo hàm tại điểm bằng 0
