2/ Với [tex]a,\,b,\,c[/tex] là các số thực khác [tex]0[/tex]. Tìm GTNN của: [tex]A=\dfrac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}+\dfrac{b^{2}}{b^{2}+(a+c)^{2}}+\dfrac{c^{2}}{c^{2}+(b+a)^{2}}[/tex]
Nhờ mọi người giúp đỡ em với
Giải:
Áp dụng Bất đẳng thức: [tex]\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_2}+\dfrac{a_3^2}{b_3} \ge \dfrac{(a_1+a_2+a_3)^2}{b_1+b_2+b_3} \quad \forall a_i,b_i >0, i=1,2,3.[/tex]
hay viết lại dưới dạng: [tex]\sum\dfrac{a_1^2}{b_1} \ge \dfrac{(\sum a_1)^2}{\sum b_1}[/tex]
Ta có:
[tex]A=\sum\dfrac{a^2}{a^2+(b+c)^2} \ge \sum\dfrac{a^2}{a^2+2b^2+2c^2}=\sum\dfrac{a^4}{a^4+2a^2b^2+2a^2c^2}[/tex]
[tex]\ge \dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum a^4+4\sum a^2b^2}[/tex]
Ta sẽ chứng minh: [tex] \dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum a^4+4\sum a^2b^2} \ge \dfrac{3}{5}\qquad (*)[/tex]
Thật vậy: [tex](*) \Leftrightarrow 5(\sum a^2)^2 \ge3\left ( \sum a^4+4\sum a^2b^2 \right )\Leftrightarrow \sum a^4\ge\sum a^2b^2[/tex], hiển nhiên đúng.Vậy [tex]\min A= \dfrac{3}{5}\Leftrightarrow a=b=c.[/tex]
