Cho [tex]\Delta ABC[/tex] có [tex]\cos A = \dfrac{5}{9},\,\,D\in BC,\,\,\widehat{ABC}=\widehat{DAC},\,\,DA=6;\,DB=\dfrac{16}{3}[/tex]. Tính chu vi [tex]\Delta ABC[/tex]
Nhờ mọi người giúp đỡ em ạ
Giải:
Ta thấy rằng, tam giác [tex]\Delta ABC[/tex] có 3 góc [tex]A,B,C[/tex] 3 cạnh tương ứng 3 đỉnh kia là [tex]a,\,b,\,c[/tex] thì [tex]cos(A)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/tex] (*)
Đặt [tex]AC=b,\,DC=d[/tex]
Trở lại bài toán, từ [tex]\widehat{B}=\widehat{DAC}[/tex] ta suy ra [tex]\Delta ABC \approx \Delta DAC[/tex] vậy nên [tex]\dfrac{AC}{DC}=\dfrac{BC}{AC}[/tex]
Vậy suy ra [tex]\dfrac{b}{d}=\dfrac{16/3+d}{b}[/tex] hay [tex]b^2=16/3d+d^2[/tex] (1)
Mặt khác theo (*) thì [tex]5/9=Cos \widehat{A}=Cos\widehat{ADC}=\dfrac{d^2+36-b^2}{12d}[/tex] (2)
Từ (1) và (2) ta dễ dàng suy ra suy ra : [tex]d=3[/tex] từ đó theo (1), tính được [tex]b=5[/tex]Ta cũng có [tex]BC=\dfrac{16}{3}+d=\dfrac{25}{3}[/tex]
Tỉ số đồng dạng của [tex]\Delta ABC \& \Delta DAC[/tex] là [tex]\dfrac{BC}{AC}=25/3 :5=5/3[/tex]
Chu vi tam giác [tex]\Delta ACD[/tex] là [tex]14[/tex] nên chu vi của [tex]\Delta ABC=\dfrac{70}{3}\,\,\,\,\,\,\,\blacksquare[/tex]
