Cho elip có phương trình [tex](E):\,4x^2+9y^2=36[/tex] và đường thẳng [tex](d)[/tex] có phương trình: [tex]3x+4y+24=0[/tex]. Tìm tọa độ điểm [tex]M[/tex] trên [tex](E)[/tex] sao cho khoảng cách từ [tex]M[/tex] đến [tex](d)[/tex] là ngắn nhất ?
Mọi người giúp em với, cảm ơn mọi người!
Gọi [tex]M(a;\,b) \in (E)[/tex] là điểm cần tìm.
Ta có: [tex]4a^2+9b^2=36\Rightarrow \left (\dfrac{a}{3} \right )^2+ \left (\dfrac{b}{2} \right )^2=1[/tex]
Khoảng cách từ [tex]M[/tex] tới [tex]d[/tex] là: [tex]h = \dfrac{|3a+4b+24| }{\sqrt{3^2+4^2 }}=\dfrac{|3a+4b+24| }{5}[/tex]
Áp dụng BĐT [tex]Cauchy- Schwarz[/tex] ta có: [tex](3a+4b)^2 = \left (9.\dfrac{a}{3}+8.\dfrac{b}{2} \right )^2 \le (9^2+8^2)\left[ { \left (\dfrac{a}{3} \right )^2+ \left (\dfrac{b}{2} \right )^2} \right]=145[/tex]
Suy ra: [tex]3a+4b \ge -\sqrt{145 } \Leftrightarrow 3a+4b+24 \ge 24 -\sqrt{145 }>0[/tex]
Tóm lại: [tex]h \ge \dfrac{ 24 -\sqrt{145 }}{5}[/tex].
Vậy [tex]\min h = \dfrac{ 24 -\sqrt{145 }}{5}\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{a}{27}=\dfrac{b}{16} \\ \left (\dfrac{a}{3} \right )^2+ \left (\dfrac{b}{2} \right )^2=1\\3a+4b = -\sqrt{145 } \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a= \dfrac{-27}{\sqrt{145 }}\\ b=\dfrac{-16}{\sqrt{145 }} \end{cases}\,\,\,\blacksquare [/tex]
