Cho elip có phương trình [tex](E):\,x^2+4y^2=8[/tex] và điểm [tex]A\left(4;\,5\right).[/tex] Tìm trên [tex](E)[/tex] điểm [tex]M[/tex] sao cho
khoảng cách [tex]MA[/tex] ngắn nhất?
Nhờ mọi người giúp đỡ.
Gọi [tex]M(a,\,b) \in (E)[/tex] thì ta có [tex]a^2+4b^2=8[/tex].
Ta cần tìm GTNN của: [tex]MA^2=(a-4)^2+(b-5)^2[/tex].
Ta có:
[tex](a-4)^2+(b-5)^2\\=a^2-8a+b^2-10+41\\=2a^2-8a+8+5b^2-10b+5+28-(a^2+4b^2)[/tex]
[tex]=2(a-2)^2+5(b-1)^2+20[/tex], do [tex]a^2+4b^2=8[/tex].
Suy ra [tex]MA^2 \ge 20 \Leftrightarrow MA \ge 2\sqrt 5[/tex].
Vậy [tex]\min MA=2\sqrt 5\Leftrightarrow a=2,b=1\Leftrightarrow M(2;1).[/tex]
[tex] Cách giải sau lại cho ra hai đáp số
Gọi [tex]M(a,\,b) \in (E)[/tex] thì ta có [tex]a^2+4b^2=8[/tex]. (1)
Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M là: a.x+4b.y=8
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với tiếp tuyến tại M
Theo điều kiện vuông góc ta có: (a-4).(-4b)+(b-5).a = 0 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được : (b-1)([tex]b^{3}+2b^{2}+7b-3[/tex])=0
Kết quả có thêm một nghiệm lẻ. Cách xử lý phương trình bậc 3 còn lại thật không dễ.
Alex giỏi về kỹ năng đại số quá.
