Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn.

[quangtiennq]

Tìm số hạng chứa [tex]x[/tex] trong khai triển:

[tex]1+2\left(1+x\right)+3\left(1+x\right)^2+...+100\left(1+x\right)^{99}[/tex]

Mọi người giúp em với ạ, em cảm ơn.

[Alexman113]

Tìm số hạng chứa [tex]x[/tex] trong khai triển:

[tex]1+2\left(1+x\right)+3\left(1+x\right)^2+...+100\left(1+x\right)^{99}[/tex]

Mọi người giúp em với ạ, em cảm ơn.

Giải:

Ta cần tìm hệ số của [tex]x[/tex] trong khai triển đa thức dưới dạng: [tex]a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{99}x^{99}.[/tex]

Mặt khác theo khai triển Niu-tơn thì: [tex]n(1+x)^{n-1}=n.\sum_{k=0}^{n-1}C_n^kx^k=\sum_{k=0}^{n-1}nC_n^kx^k.[/tex]

Như vậy: [tex]a_{1}=2C_{2}^{1}+3C_{3}^{1}+\cdots+100C_{100}^{1}=2^2+3^2+\cdots+100^2=\sum_{i=1}^{100}i^2-1=338349. \blacksquare[/tex]