Bài phương trình khó nhờ mọi người giúp.

[Ken1202]

Giải phương trình: $25x+ 9\sqrt{9x^{2}-4}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{18x}{1+x^{2}}$

Cám ơn mọi người.

[Alexman113]

Giải phương trình: $25x+ 9\sqrt{9x^{2}-4}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{18x}{1+x^{2}}$

Cám ơn mọi người.

Hình như đây là bài ra trên báo THTT thì phải.

[Alexman113]

Giải phương trình: $25x+ 9\sqrt{9x^{2}-4}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{18x}{1+x^{2}}$

Cám ơn mọi người.

Giải:
Điều kiện: $\left| x \right| \ge \frac{2}{3}$

$\bullet$ Với $x \ge \frac{2}{3}$, phương trình tương đương với:
$25 + \dfrac{{9\sqrt {9{x^2} - 4} }}{x} = \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{{18}}{{1 + {x^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Dễ thấy phương trình $(1)$ có $VT > 25$ và do $x \ge \dfrac{2}{3}$, ta có $VP \le \dfrac{9}{2} + \dfrac{{162}}{{13}} < 25$ nên phương trình vô nghiệm.

$\bullet$ Với $x \le  - \frac{2}{3}$, phương trình tương đương với:
$25 - 9\sqrt {9 - \dfrac{4}{{{x^2}}}}  = \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{{18}}{{{x^2} + 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Đặt $t = \dfrac{1}{{{x^2}}}\,\,\left( {0 < t \le \frac{9}{4}} \right)$, phương trình $(2)$ trở thành:
$25 - 9\sqrt {9 - 4t}  = 2t + \dfrac{{18t}}{{1 + t}} \Leftrightarrow 9 - 9\sqrt {9 - 4t}  = 2t + \dfrac{{18t}}{{1 + t}} - 16$
$\Leftrightarrow \dfrac{{36\left( {t - 2} \right)}}{{\sqrt {9 - 4t}  + 1}} = \dfrac{{2\left( {t - 2} \right)\left( {t + 4} \right)}}{{t + 1}} \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {\dfrac{{18}}{{\sqrt {9 - 4t}  + 1}} - \dfrac{{t + 4}}{{t + 1}}} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$
Với $0 < t \le \dfrac{9}{4}$ có $\dfrac{{18}}{{\sqrt {9 - 4t}  + 1}} \ge \dfrac{{18}}{4}$ và $\dfrac{{t + 4}}{{t + 1}} = 1 + \dfrac{3}{{t + 1}} < 4 < \dfrac{{18}}{4}$ nên $\dfrac{{18}}{{\sqrt {9 - 4t}  + 1}} - \dfrac{{t + 4}}{{t + 1}} > 0$

Vậy $\left( 3 \right) \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow x =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\left( \text{vì x < 0} \right)$

KL: Phương trình đã cho có nghiệm là $\mathbf{x =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}$.

Theo THTT