Cơ học

[Trần Anh Tuấn]

Nhờ thầy cô giải giúp em một bài toán trong tạp chí kvant(Nga)
Tiêu đề : N bánh xe nối nhau
Một sợi dây được cố định vào bên ngoài một bánh xe và quấn quanh nó. Nếu đầu kia của dây được cố định vào trần nhà và bánh xe được thả ra, nó sẽ đi xuống, quay và trải dây ra. Tưởng tượng rằng có 3 bánh xe như nhau được nối liên tiếp như hình vẽ. Nếu tất cả các bánh xe được trải ra đồng thời, gia tốc của bánh xe trên cùng là bao nhiêu. Cũng hỏi như trên nếu số bánh xe nối tiếp rất lớn. Giả sử khối lượng bánh xe đồng nhất phân bố theo chu vi. Dây không trọng lượng, không giãn và không ma sát.

[hoanganh.vn2013]

Heh thử nhé  

Xét bánh xe thứ k:
+ Phương trình động học:
 [tex]T_k.R= I.\frac{a_k-a_{k-1}}{R} \Rightarrow T_k=m(a_k-a_{k-1})[/tex](1)
[tex]mg+T_{k+1}-T_{k}=ma_k[/tex]   (2)
Chú ý nếu có N bánh thì [tex]T_{N+1} = 0[/tex]
+ Từ (1) và (2) ==> [tex]-a_{k-1} + 3a_k - a_{k+1} = g[/tex] (3)

* Với 3 bánh xe từ (3) ta lần lượt có:
[tex] 3a_1 - a_{2} = g[/tex]
[tex]-a_{1} + 3a_2 - a_{3} = g[/tex]
[tex]-a_{2} + 3a_3  = g[/tex]  ( ở đây [tex]a_{k+1} =a_4 = 0[/tex]

Giải hệ trên tìm được các a

* với N = vô cùng tối rảnh làm nốt

[hoanganh.vn2013]

Trường hợp N tiến tới vô cùng:
+ Đặt a1 = x.g
+ Xét trong hệ qui chiếu chuyển động với a1: g_(bk) = g - a1
Bánh xe 2 lúc này tương đương với bánh xe 1 nên gia tốc của bánh xe 2 trong hệ qui chiếu này [tex]a'_2=x.g_{bk}[/tex]
==> Gia tốc của bánh xe 2 trong hệ qui chiếu gắn với mặt đất: [tex]a_2=a'_2+a_1=g.x(2-x)[/tex]
Theo trên: [tex]3a_1-a_2=g\Rightarrow 3gx-gx(2-x)=g[/tex] ==> x ==>a1