Tìm GTNN của biểu thức với điều kiện cho trước.

[kunkute]

Cho: [tex]\dfrac{1}{3}<x\leq\dfrac{1}{2}[/tex] và [tex]y\geq 1[/tex].Tìm GTNN của:

[tex]P=x^2+y^2+\dfrac{x^2y^2}{\left[\left(4x-1\right)y-x\right]^2}[/tex]

[Alexman113]

Cho: [tex]\dfrac{1}{3}<x\leq\dfrac{1}{2}[/tex] và [tex]y\geq 1[/tex].Tìm GTNN của:

[tex]P=x^2+y^2+\dfrac{x^2y^2}{\left[\left(4x-1\right)y-x\right]^2}[/tex]

Giải:

Xét [tex]f(x)=x^2+y^2+\dfrac{x^2y^2}{(4xy-x-y)^2}, x\in\left(\frac{1}{3},\dfrac{1}{2}\right] [/tex]
Ta có: [tex]f'(x)=2x+\dfrac{2y^2x(4xy-x-y)^2-2x^2y^2(4xy-x-y)(4y-1)}{(4xy-x-y)^4}[/tex]
                          [tex]=2x+\frac{-2xy^3}{(4xy-x-y)^3}[/tex]
                          [tex]=\frac{2x[(4xy-x-y)^3-y^3]}{(4xy-x-y)^3}[/tex]
Mà ta có: [tex]4xy-x-2y=2y(2x-1)-x\le2(2x-1)-x=3x-2\le0[/tex], vì [tex]x\le\frac{1}{2}[/tex]
                   [tex]4xy-x-y=y(4x-1)-x\ge(4x-1)-x=3x-1>0[/tex], vì [tex]x>\frac{1}{3}[/tex]
Vậy [tex]f'(x)\le0,\forall x\in\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right][/tex] .
Suy ra: [tex]P\ge f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}+y^2+\frac{y^2}{(2y-1)^2}[/tex]
Xét: [tex]g(y)=\frac{1}{4}+y^2+\frac{y^2}{(2y-1)^2},y\ge 1[/tex]
Ta có: [tex]g'(y)=\frac{4y(y-1)(4y^2-2y+1)}{(2y-1)^3}\ge0,\forall y\ge 1[/tex]
Suy ra: [tex]P\ge g(1)=\frac{9}{4}[/tex]
Vậy Min[tex]P=\frac{9}{4} \Leftrightarrow x=\frac{1}{2},y=1[/tex]