Cho hàm số bậc ba y=fx có đồ thị (C) như hình vẽ, đường thẳng d có phương trình y=x−1.  Biết phương trình f(x)=0 có ba nghiệm x1

Phương pháp giải:

Gọi hàm số cần tìm là $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

Xác định các điểm thuộc đồ thị hàm số rồi thay tọa độ vào hàm số để được hệ bốn ẩn

Giải hệ ta tìm được a; b c; d. Từ đó tìm nghiệm phương trình $f\left(x\right)=0$ .

Giải chi tiết:

Gọi hàm số cần tìm là $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại ba điểm có hoành độ $x=-1;x=x_0;x=3$

Với $x=-1\Rightarrow y=-1-1=-2$ hay điểm $\left(-1;-2\right)$  thuộc đồ thị (C)

Với $x=3\Rightarrow y=3-1=2$ hay điểm (3;2) thuộc đồ thị (C)

Lại thấy giao điểm của đồ thị (C), trục hoành và đường thẳng $\left(d\right):y=x-1$ là $A\left(x_0;0\right)$ suy ra $0=x_0-1\Rightarrow x_0=1$

Vậy điểm A(0;1) thuộc đồ thị (C).

Thấy đồ thị (C) cắt trục tung tại $\left(0;2\right)\Rightarrow d=2\Rightarrow y=a{x}^3+b{x}^2+cx+2$

Các điểm $\left(-1;-2\right)$;  (3;2); (0;1) đều thuộc đồ thị (C) nên ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}a{\left(-1\right)}^3+b{\left(-1\right)}^2+c.\left(-1\right)+2=-2\\ a{.3}^3+b{.3}^2+c.3+2=2\\ a{.1}^3+b{.1}^2+c.1+2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-a+b-c=-4\\ 27a+9b+3c=0\\ a+b+c=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-3\\ c=0\end{array}\right.$

Suy ra $y=f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$

Phương trình $f\left(x\right)=0\iff x^3-3x^2+2=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1-\sqrt{3}\\ x=1\\ x=1+\sqrt{3}\end{array}\right.$

Suy ra $x_1=1-\sqrt{3};x_2=1;x_3=1+\sqrt{3}\Rightarrow x_1.x_3=\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)=-2$