Giải hệ phương trình: [tex]\begin{cases} 2\left(x^2+y^2\right)-3\sqrt{2x-1}=11 \\ \sqrt{x^2-x-y}=\dfrac{y}{\sqrt[3]{x-y}} \end{cases}[/tex]
Mọi người giúp em ạ.
Giải:Điều kiện xác định:[tex]\begin{cases} x^2-x-y\geq0 \\ x\geq \dfrac{1}{2}\\ x\neq y \end{cases}[/tex]
Hệ phương trình đã cho tương đương: [tex]\begin{cases} 2\left(x^2+y^2\right)-3\sqrt{2x-1}=11\\ \sqrt{x^2-x-y}.\sqrt[3]{x-y}=y\end{cases}[/tex]
Nhận thấy rằng: [tex]y\geq0[/tex]
[tex]\sqrt{x^2-x-y}.\sqrt[3]{x-y}=y\Leftrightarrow \sqrt{x^2-\left(x+y\right)}.\sqrt[3]{x-y}=y \\ \Leftrightarrow \sqrt{x^2-x-y}.\left(\sqrt[3]{x-y}-1\right)+\left(\sqrt{x^2-x-y}-y\right)=0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x^2-x-y}.\dfrac{x-y-1}{\sqrt[3]{\left(x-y\right)^2+\sqrt[3]{x-y}+1}}+\dfrac{x^2-x-y-y^2}{\sqrt{x^2-x-y}+y}=0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x^2-x-y}.\dfrac{x-y-1}{\sqrt[3]{\left(x-y\right)^2+\sqrt[3]{x-y}+1}}+\dfrac{\left(x-y-1\right)\left(x+y\right)}{\sqrt{x^2-x-y}+y}=0 \\ \Leftrightarrow \left(x-y-1\right)\left(\dfrac{\sqrt{x^2-x-y}}{\sqrt[3]{\left(x-y\right)^3}+\sqrt[3]{x-y}+1}+\dfrac{x-y}{\sqrt{x^2-x-y}+y}\right)=0\\ \Leftrightarrow x-y-1=0[/tex]
Thay [tex]y=x-1[/tex] vào phương trình thứ nhất ta được: [tex]4x^2-4x+2-3\sqrt{2x-1}=11\Leftrightarrow \left(2x-1\right)^2-3\sqrt{2x-1}-10=0[/tex]
Đặt: [tex]t=\sqrt{2x-1},\,t\geq0[/tex] ta có phương trình: [tex]t^4-3t-10=0\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow y=\dfrac{3}{2}[/tex]
Vậy nghiệm của hệ là: [tex]\left(x;\,y\right)=\left(\dfrac{5}{2};\,\dfrac{3}{2}\right)[/tex]
