Cho 3 số thực [tex]x,\,y,\,z[/tex] thỏa [tex]x + y + z \leq 3[/tex]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[tex]P = \frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{y^{3}}+ \frac{2}{z^{3}} + \frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}} + \frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}} + \frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}}[/tex]
Anh chị, thầy cô và các bạn giải giúp em nhé !!! Giải thích rõ để em hiểu ^^!
Bài này mình giải sơ sơ thôi nhé!!!
Theo bdt AM-GM ta có [tex]\frac{2}{x^3}+\frac{2}{y^3}+2\geq \frac{6}{xy} \Rightarrow \sum{\frac{2}{x^3}}\geq \sum{\frac{3}{xy}-3}[/tex]
Tiếp tục sử dụng Cauchy-Schwarz có : [tex]\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2-xy+y^2}\geq \frac{16}{(x+y)^2} \Rightarrow \sum{\frac{3}{xy}}+\sum{\frac{1}{x^2-xy+Y^2}}\geq \sum{\frac{16}{(x+y)^2}}[/tex]
Và [tex]3\sum{\frac{16}{(x+y)^2}}\geq (\sum{\frac{4}{x+y}})^2[/tex]
Và [tex]\sum{\frac{4}{x+y}}\geq \frac{18}{x+y+z}\geq 6[/tex]
KL: [tex]A\geq 9\Leftrightarrow x=y=z=1[/tex]
