Cảm ơn Alex nhé.
Thực ra ban đầu mình giải phương trình: 1+2cosx-sinx.cosx =0 đặt t theo tanx/2
Phương trình lượng giác này nhìn đơn giản vậy mà không tìm được. Mọi người giải giúp nhé!
Giải phương trình:
[tex]1+2\cos x-\sin x \cos x=0[/tex]
Đặt [tex]t = \tan \dfrac{x}{2} \implies \begin{cases}\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2} \\\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2} \end{cases}[/tex]
PT đã cho tương đương với
[tex]\displaystyle{1+2.\dfrac{1-t^2}{1+t^2}+\dfrac{2t}{1+t^2}.\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left(1+t^2\right)^2+2\left(1-t^4\right)+2t\left(1-t^2\right)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow t^4+2t^3-2t^2-2t-3=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow t^4+2t^3+t^2=3t^2+2t+3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left[ {t\left(t+1\right)} \right]^2=3t^2+2t+3[/tex]
Ta thêm vào tham số [tex]a[/tex] như sau,
[tex]\Leftrightarrow \left[ {t\left(t+1\right)} \right]^2+2a.t\left(t+1\right)+a^2=\left(3+2a\right)t^2+2\left(a+1\right)t+a^2+3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left(t^2+t+a\right)^2=\left(3+2a\right)t^2+2\left(a+1\right)t+a^2+3 (*)[/tex]
Đặt [tex]f\left(a\right)=\left(3+2a\right)t^2+2\left(a+1\right)t+a^2+3[/tex]. Bây giờ giả sử [tex]a[/tex] là số thỏa mãn
[tex]\Delta'_f=\left(a+1\right)^2-\left(3+2a\right)\left(a^2+3\right)=0\Leftrightarrow a^3+a^2+2a+4=0\,\,\,\,\,(**)[/tex]
Khi đó vế phải của PT [tex](*)[/tex] có nghiệm duy nhất [tex]t=-\dfrac{a+1}{3+2a}[/tex]. Và lúc đó
[tex]\Leftrightarrow \left(t^2+t+a\right)^2=\left(3+2a\right)\left (t+\dfrac{a+1}{3+2a} \right )^2\,\,\,\,\,\,\,\,(***)[/tex]
Chú ý rằng ràng buộc [tex](**)[/tex] là ràng buộc có nghĩa vì PT bậc [tex]3[/tex] luôn có nghiệm, và nghiệm này được chọn thỏa mãn [tex]3+2a>0[/tex].
Như vậy từ [tex](***)[/tex] ta thu được hai PT bậc hai và có thể giải tiếp được. [tex]\blacksquare[/tex]
Nhưng thực chất đây là bài toán giải phương trình đại số bậc 4 thôi anh nhưng như em đã nói trên là nghiệm như vậy thì bó tay rồi ạ.
