Hình học phẳng.

[denyoblur]

Trên đường tròn [tex](O;\,R)[/tex] cho trước, vẽ dây cung [tex]AB[/tex] cố định không đi qua [tex]O.[/tex] ĐIểm [tex]M[/tex] bất kỳ trên tia [tex]BA[/tex] sao cho [tex]M[/tex] nằm ngoài đường tròn [tex](O;\,R),[/tex] từ [tex]M[/tex] kẻ hai tiếp tuyến [tex]MC[/tex] và [tex]MD[/tex] với đường tròn.
   a) Chứng minh tứ giác [tex]OCMD[/tex] là tứ giác nội tiếp.
   b)  Chứng mình [tex]MC^2=MA.MB[/tex]
   c) Gọi [tex]H[/tex] là trung điểm [tex]AB,\,F[/tex] là giao điểm [tex]CD[/tex] và [tex]OH.[/tex] Chứng minh [tex]F[/tex] là điểm cố định khi [tex]M[/tex] thay đổi.
Bài này em đã làm được 2 câu đầu rồi, chỉ còn câu [tex]c)[/tex] là không giải được các bác giúp với nhé

[Alexman113]

Trên đường tròn [tex](O;\,R)[/tex] cho trước, vẽ dây cung [tex]AB[/tex] cố định không đi qua [tex]O.[/tex] ĐIểm [tex]M[/tex] bất kỳ trên tia [tex]BA[/tex] sao cho [tex]M[/tex] nằm ngoài đường tròn [tex](O;\,R),[/tex] từ [tex]M[/tex] kẻ hai tiếp tuyến [tex]MC[/tex] và [tex]MD[/tex] với đường tròn.
   c) Gọi [tex]H[/tex] là trung điểm [tex]AB,\,F[/tex] là giao điểm [tex]CD[/tex] và [tex]OH.[/tex] Chứng minh [tex]F[/tex] là điểm cố định khi [tex]M[/tex] thay đổi.

Gọi [tex]E[/tex] là giao điểm của [tex]MO[/tex] và [tex]CD\Rightarrow MO\perp CD[/tex] tại [tex]E[/tex] (tính chất tiếp tuyến)
Xét [tex]\Delta MCO[/tex] vuông tại [tex]C[/tex] có [tex]CE[/tex] là đường cao [tex]\Rightarrow MC^2=ME.MO[/tex]
Mà [tex]MC^2=MA.MB\,\left(\text{cmt}\right)\Rightarrow MA.MB=ME.MO\Rightarrow [/tex] tứ giác [tex]AEOB[/tex] nội tiếp trong một đường tròn [tex]\Rightarrow \widehat{MIA}=\widehat{OBA}[/tex]
Mà [tex]\widehat{OBA}=\widehat{OAB}=\widehat{OEB}\Rightarrow \widehat{MEA}=\widehat{OEB}\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{BEF}\Rightarrow EF[/tex] là tia phân giác của [tex]\widehat{AEB}[/tex]
Vì [tex]OF[/tex] là tia phân giác của [tex]\widehat{AOB},[/tex] mà [tex]\widehat{AEB}=\widehat{AOB}[/tex]
Suy ra [tex]\widehat{FEB}=\widehat{FOB}[/tex] mà [tex]\widehat{FEO}=90^o[/tex] nên tứ giác [tex]EOBF[/tex] nội tiếp trong đường tròn đường kính [tex]OF[/tex]
Tương tự, ta cũng dễ dàng chứng minh được tứ giác [tex]EOAF[/tex] nội tiếp trong đường tròn đường kính [tex]OF[/tex]
Suy ra tứ giác [tex]AOBF[/tex] nội tiếp đường tròn đường kính [tex]OF\Rightarrow \widehat{AFO}=\widehat{ABO}[/tex]
Trong [tex]\Delta AFH[/tex] vuông tại [tex]H[/tex] có: [tex]AF=\dfrac{AH}{\sin ABO}[/tex]
Ta có [tex]A,\,B,\,O[/tex] cố định, [tex]H[/tex] là trung điểm [tex]AB\Rightarrow AH[/tex] và [tex]\sin ABO[/tex] không đổi suy ra [tex]AF[/tex] không đổi suy ra [tex]F[/tex] cố định khi [tex]M[/tex] thay đổi. [tex]\blacksquare[/tex]