Cho mạch điện xoay chiều theo thứ tự gồm điện trở R, tụ điện C, cuộn dây có r = R và độ tự cảm L (với L = C[tex]R^{2}[/tex]). Khi tần số góc là [tex]\omega _{1}[/tex] thì điện áp hai đầu cuộn dây lệch pha với điện áp hai đầu mạch là [tex]\alpha _{1}[/tex] và có giá trị hiệu dụng là [tex]U_{1}[/tex]. Khi tần số góc là [tex]\omega _{2}[/tex] thì các giá trị trên tương ứng là [tex]\alpha _{2}[/tex] và [tex]U_{2}[/tex]. Biết [tex]\alpha _{1}+\alpha _{2}=\frac{\pi }{2}[/tex] và [tex]3U_{1}=4U_{2}[/tex]. Hệ số công suất của mạch khi tần số góc là [tex]\omega _{1}[/tex] bằng bao nhiêu?
L = C[tex]R^{2}[/tex] [tex]\Leftrightarrow Z_LZ_C= Z_{L1}Z_{C1}=Z_{L1}Z_{C1}=R^2[/tex] (1)
" [tex]\alpha _{1}+\alpha _{2}=\frac{\pi }{2}[/tex] " [tex]\Leftrightarrow tan\alpha _1.tan\alpha _2=1 \Leftrightarrow \frac{Z_{L1}Z_{L2}}{R^2}=1[/tex] (2)
[tex](1)(2) \Rightarrow Z_{C1}=Z_{L2} , Z_{C2}=Z_{L1}[/tex] (3)
Xét [tex]U_{Lr}=\frac{U\sqrt{Z_L^2+r^2}}{\sqrt{(R+r)^2}+(Z_L-Z_C)^2}=\frac{U\sqrt{Z_L^2+R^2}}{\sqrt{4R^2+(Z_L-Z_C)^2}}=\frac{U\sqrt{Z_L^2+R^2}}{\sqrt{2R^2+Z_L^2+Z_C^2}}[/tex]
"[tex]3U_{1}=4U_{2}[/tex]" [tex]\Leftrightarrow 3\frac{\sqrt{Z_{L1}^2+R^2}}{\sqrt{2R^2+Z_{L1}^2+Z_{C1}^2}}=4\frac{\sqrt{Z_{L2}^2+R^2}}{\sqrt{2R^2+Z_{L2}^2+Z_{C2}^2}}[/tex] (4)
Dựa vào (3) suy ra 2 mẫu số của (4) bằng nhau,
[tex](4)\Leftrightarrow 9(Z_{L1}^2 +R^2)=16(Z_{L2}^2 +R^2)[/tex] (5)
Thế (2) vào (5) đc [tex]9Z_{L1}=16Z_{L2}[/tex] (6)
[tex]cos\alpha _1 = \frac{R+r}{\sqrt{(R+r)^2+(Z_{L1}-Z_{C1})^2}}=\frac{2R}{4R^2+(Z_{L1}-Z_{C1})^2}[/tex] (*)
(2) và (6) suy ra [tex]Z_{L1}[/tex] theo R (7)
(1) và (7) suy ra [tex]Z_{C1}[/tex] theo R (
Thế (7)(
vào (*) là ra
