Cho: [tex]y=x^3+3x^2+mx+m-2.[/tex] Định [tex]m[/tex] để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành?
Theo như bài giải trên mạng thì ta sẽ lấy phương trình [tex]y[/tex] chia [tex]Hoocne[/tex] ra được [tex]x=-1[/tex] và một phương trình bậc hai [tex]g(x).[/tex] Theo như bài giải đó thì muốn thỏa đề chỉ cần [tex]\Delta[/tex] của phương trình bậc hai đó dương và [tex]g(-1)\neq 0[/tex] (có 2 nghiệm phân biệt khác [tex]-1[/tex]).
Thưa thầy, cho em hỏi nếu giải như thế thì đã đầy đủ chưa và ta không cần xét điều kiện [tex]y_1y_2<0[/tex] ạ?
Hướng dẫn:
Có lẽ lời giải kia đã nhầm giữa bài toán sự tương giao của đồ thị với trục hoành với bài toán cực trị của hàm số.
Để hàm số bậc ba có CĐ và CT thì trước hết đạo hàm phải có nghiệm phân biệt.
Ta có [tex]f'(x)=3x^2+6x+m[/tex]
[tex]\Delta '=9-3m>0\Leftrightarrow m<3.[/tex]
Lúc này ta đem chia [tex]f(x)[/tex] cho [tex]f'(x)[/tex] để tìm phần dư thì đó chính là phương trình đường thẳng đi qua CĐ và CT.
Đó là [tex](d):y=\left ( \dfrac{2m}{3}-2 \right )x+\dfrac{2m}{3}-2[/tex]
Bây giờ để CĐ và CT nằm về hai phía của trục hoành thì [tex](d)[/tex] phải cắt trục hoành [tex]y=0[/tex] tại một điểm duy nhất, tức là không được trùng nhau. Như vậy PT sau có nghiệm duy nhất
[tex]\left ( \dfrac{2m}{3}-2 \right )x+\dfrac{2m}{3}-2=0[/tex]
Nếu và chỉ nếu [tex]\dfrac{2m}{3}-2 \ne 0\Leftrightarrow m \ne 3.[/tex]
Vậy tóm lại [tex]m<3.[/tex]Vậy cho em hỏi, em đang hình dung đường thẳng đi qua hai cực trị cắt trục Ox tại một điểm duy nhất. Nhưng mà điều đó hình như đâu có lý giải được cực trị nằm về hai phía của Ox. Em cảm thấy điểm đó chỉ là điểm cố định mà đường thẳng này luôn đi qua thôi. Và nếu 2 cực trị nằm về một phía thì đường thẳng vẫn kéo dài cắt Ox được mà? Mà thật ra cách giải thích của thầy em thấy hơi khó hiểu ạ. Xin thầy chỉ dẫn cụ thể hơn.
