Bạn đăng bài sai box rồi. Xin đăng nguyên văn 1 bài chứng minh trên gg cho bạn tham khảo nè 
Hệ tiên đề Peano gồm 4 tiên đề như sau: Có một tập hợp N gồm các tính chất sau:
1/ Với mỗi phần tử x trong N có một phần tử, ký hiệu là S(x), trong N được gọi là phần tử kế tiếp của x
2/ Cho x và y trong N sao cho, nếu S(x)=S(y ) thì x = y
3/ Có một phần tử trong N ký hiệu là 1 sao cho 1 không là phần tử kế tiếp của một tử nào trong N (nghĩa là không tồn tại x sao cho S(x)=1 )
4/ Cho U là tập con của N sao cho 1 thuộc U và S(x) thuộc U, x thuộc U. Lúc đó U = N.
Ta lưu ý rằng, các phép cộng, phép nhân trên N cũng chỉ là một ánh xạ từ Nx thuộc N -> N. Với các định nghĩa trên, ta có thể xác định 2 là S(1), 3 là S(2), 4 là S(3) ......... Ta cũng có thể xác định phép cộng trên N như sau: n+1 = S(n), n+2=S(n+1). Ta cũng có thể xác định phép nhân 2.n = n+n, .... Và do đó việc 1+1=2 là do từ các tiên đề Peano mà có.
Còn đây là cách chứng minh 1+ 1= 2 na đó không phải là một định lý ( đúng trong mọi mô hình).
Sẽ dùng định nghĩa trong tiên đề peano về hàm số liền sau viết tắt là S(n)
_ Mọi số tự nhiên đều có một số liền sau và duy nhất .
_ Hai số có cùng một số liền sau thì bằng nhau : S(n)=S(m) m=n
Định nghĩa đệ quy về phép cộng :
_Với mọi n , n+0 =n
_ n+ S(m)= S(n+m)
Chứng minh :
1+1=2 . Theo định nghĩa về phép cộng ta có mệnh đề tương đương S(1)=2 . Đây là một định nghĩa , định nghĩa là một dạng tiên đề đặc biệt gồm hai vế , một vế chứa kí hiệu mới muốn đứa vào lý thuyết ( kí hiệu mới chỉ xuất hiện một lần ) , vế thứ hai kí hiệu mới không xuất hiện . Ở đây là một định nghĩa của kí hiệu « 2 » ( nên phân biệt rõ kí hiệu 2 và số 2) . Một tiên đề định nghĩa thì không thể gây mâu thuẫn lý thuyết được . (mình không chứng minh điêu này ) .
VD :
Lý thuyết ban đầu A
(Số liền sau của 1) là số chẵn , (Số liền sau của 1) cộng 0 vẫn là chính nó . (Số liền sau của 1) là số nguyên tố .
Lý thuyết B = lý thuyết A tiên đề: S(1)=2
2 là số chẵn , 2 cộng 0 vẫn là chính nó . 2 là số nguyên tố .
Bạn chỉ cần thay chuỗi (Số liền sau của 1) bằng 2 ta sẽ có lý thuyết B từ lý thuyết A . Rõ ràng nếu A đúng thì B cũng đúng
Như vậy từ một lý thuyết không mâu thuẫn về (số liền sau của 1) , ta thay chuỗi (số liền sau số 1) bằng kí hiệu 2 (2 phân biệt với kí hiệu có trước như S, 0 và 1) ta sẽ có định lý 1+1 =2
Bây giờ mình sẽ dùng phản ví dụ ( nói một cách lý thuyết là tìm thấy một mô hình của lý thuyết không mâu thuẫn không thỏa "1+1=2") .
Xét nhóm Z/2Z nôm na là phép cộng modulo 2 . 1 đại diện cho số lẻ , 0 đại diện cho số chẵn .
0 + 0 = 0
1+0 = 0+1=1
1+1=S(1)=0
Rõ ràng S(0)=1 và S(1)=0
Dĩ nhiên là còn nhiều phản ví dụ khác .
Vậy tồn tại mô hình mà « 1+1=2 » không thỏa và trong tập N thì « 1+1=2 » thỏa vậy đây là mệnh đề không chứng minh được với tập giả thiết rỗng hiển nhiên không là một định lí.
