Diễn Đàn Vật Lý | Thư Viện Vật Lý

giúp mình 3 câu này nhé!^^
câu 1: [tex]\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}=x(1+2\sqrt{1-x^{2}})[/tex]
câu này mình nghĩ lm lượng giác hóa nhưng mình k bít lấy miền sao cho có lợi nhất.. ??? :D

câu 2:
[tex]\sqrt{2X-3}+\sqrt{X+1}=3X+2\sqrt{X^{2}+5X+3}-16[/tex]

câu 3:
[tex](x+3)\sqrt{2x^{2}+1}=x^{2}+x+3[/tex]
mình thấy bài này bình phg lên cũng ra nhưng liệu có cách khác hay hơn k nhi? mọi ng?
P/s: cảm ơn mọi ng nhiều!  :x

Bài 1:
[tex]C_1[/tex] (Ta sẽ đặt ẩn phụ không hoàn toàn)

Đặt [tex]t=1+\sqrt{1-x^2}[/tex]

Từ đây suy ra các kết quả sau:

[tex]\begin{cases}2t-1=1+2\sqrt{1-x^2} \\ 2t-t^2=x^2 \end{cases}[/tex]

Ta có:

[tex]\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x\left(1+2\sqrt{1-x^2}\right)[/tex]

[tex]\Rightarrow 1+\sqrt{1-x^2}=x^2\left(1+2\sqrt{1-x^2}\right)^2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow t=\left(2t-t^2\right)\left(2t-1\right)^2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow t\left(t-1\right)\left(4t^2-8t+1\right)=0[/tex]
Đến đây anh làm tiếp được rồi.

[tex]C_2[/tex]
Điều kiện: [tex]|x|\leq1[/tex]

Đặt: [tex]x=\sin t, t\in\left(\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex]

Phương trình đã cho trở thành:

[tex]\sqrt{1+\cos t}=\sin t(1+2\cos t)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \sqrt{2}\cos \dfrac{t}{2}=2\sin \dfrac{3t}{2}\cos \dfrac{t}{2}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \cos \dfrac{t}{2}\left(\sqrt{2}\sin \dfrac{3t}{2}-1\right)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \frac{t}{2} = 0 \\ \cos \frac{{3t}}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \\ \end{array} \right.[/tex]


[tex]\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = (2k + 1)\pi \\t=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{4\pi}{3}\\ \end{array} \right.\left ( k \in \mathbb{Z} \right )[/tex]

Kết hợp với điều kiện của [tex]t[/tex] suy ra : [tex]t = \dfrac{\pi }{6}[/tex]
Vậy: phương trình có 1 nghiệm: [tex]x = \sin \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{1}{2}[/tex]

Bài 3:
Đặt: [tex]t = \sqrt {2{x^2} + 1} > 0 \Rightarrow {t^2} = 2{x^2} + 1 \Rightarrow {x^2} = \frac{{{t^2} - 1}}{2}[/tex]
Phương trình đã cho trở thành:

[tex]\left( {x + 3} \right)t = \frac{{{t^2} - 1}}{2} + x + 3 \Leftrightarrow 2\left( {x + 3} \right)t = {t^2} + 2x + 5 \Leftrightarrow {t^2} - 2\left( {x + 3} \right)t + 2x + 5 = 0[/tex]


Phương trình trên có: [tex]{\Delta _t}^\prime = {\left( {x + 3} \right)^2} - \left( {2x + 5} \right) = {x^2} + 4x + 4 = {\left( {x + 2} \right)^2}[/tex]

Do đó: [tex]\left[ \begin{array}{l} t = x + 3 + x + 2 = 2x + 5\\ t = x + 3 - \left( {x + 2} \right) = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt {2{x^2} + 1} = 2x + 5\\ \sqrt {2{x^2} + 1} = 1 \end{array} \right.[/tex]

Đến đây thì anh giải và kết luận nghiệm.

Bài 2:
Bài này anh xem lại đề giúp em nhé, em nghĩ đề phải thế này:

Alex good phần này nhẩy  =d> .Xin 1 cách làm bài này nữa nhé
PT đã cho <-->[tex](x+3)[\sqrt{2x^{2}+1}-1]=x^{2}[/tex]
<-->[tex]\frac{(x+3)2x^{2}}{\sqrt{2x^{2}+1}+1}=x^{2}[/tex]
<--->[tex]x^{2}[\frac{2x+6}{\sqrt{2x^{2}+1}+1}-1]=0[/tex]
<-->x=0 v [tex]\sqrt{2x^{2}+1}=2x+5[/tex]
Tương tự........... *-:)

2 bạn làm hay quá! m=d>..mình kém phần này. :D giúp mình mấy câu nữa nhé!^^

câu 4:
x[tex]^{3}[/tex]+1=2[tex]\sqrt[3]{2x-1}[/tex]

câu 5:[tex]\sqrt{x^{2}+3}=\frac{3x^2+2x+3}{3x+1}[/tex]
tiện cho mình hỏi luôn 1 câu hệ đc đánh giá là dễ (hi,.nhưng mình vẫn k lm đc  :-[ :D)
[tex]\begin{cases} & \sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=4 & \sqrt{x+6}+\sqrt{y+4}=6 \end{cases}[/tex]



p/s: cảm ơn mọi ng nhiều!

Em xin "chém" câu này trước  :D

Đặt [TEX]t=\sqrt[3]{2x-1}[/TEX]

Ta có hệ phương trình:
Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2, anh có thể giải quyết dễ dàng rồi :P

Tí nữa em sẽ post nốt hai bài còn lại.

Em giải nốt bài này trước đã :D
Điều kiện: [TEX]x\geq -1[/TEX]

Đặt: [TEX]t= \sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}[/TEX]

Phương trình trở thành: [TEX]t=t^{2}-20[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow t=-4[/TEX] hoặc [TEX]t= 5[/TEX]
Từ đó ta tìm ra [TEX]x[/TEX]

[tex]C_1[/tex]:
Điều kiện: [TEX] x \leq -1 ; y \leq  1[/TEX]

Cộng trừ hai vế của phương trình ta được
[TEX]\begin{cases} \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 1} + \sqrt{ y + 4} + \sqrt{y - 1} = 10 \\  \sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 1} + \sqrt{ y + 4} - \sqrt{y - 1} =2 \end{cases}[/TEX]

Đặt [TEX]\sqrt{x + 6} + \sqrt{x - 1} = a \Rightarrow \sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 1} = \dfrac{5}{a}[/TEX]
[TEX]\sqrt{ y + 4} + \sqrt{y - 1} = b \Rightarrow \sqrt{ y + 4} - \sqrt{y - 1} = \dfrac{5}{b}[/TEX]

Hệ phương trình [TEX]\Leftrightarrow \begin{cases} a + b = 10 \\ \dfrac{5}{a} + \dfrac{5}{b} = 2 \end{cases}[/TEX]

Đến đây anh giải được rồi :D
Vậy nghiệm hệ pương trình đã cho là:[TEX](x ; y) = (3 ; 4)[/TEX]

[tex]C_2[/tex]:

Điều kiện: [TEX]x \ge  - 1;y \ge 1[/TEX]

Đặt [TEX]u = \sqrt {x + 1} ,\,\,v = \sqrt {y - 1} ,\,\,\,u,v \ge 0[/TEX]. Hệ tương đương với:

[TEX]\begin{cases} u + v = 4 \\ \sqrt {{u^2} + 5}  + \sqrt {{v^2} + 5}  = 6\end{cases}\,\,\,\,\,\left( * \right)[/TEX]

Đến đây ta bình phương hai vế của phương trình thứ hai rồi kết hợp với phương trình thứ nhất. Từ đó tìm được kết quả.

[tex]C_3[/tex]:

Điều kiện: [TEX]x \ge  - 1;y \ge 1[/TEX]

Đặt [TEX]u = \sqrt {x + 1} ,\,\,v = \sqrt {y - 1} ,\,\,\,u,v \ge 0[/TEX]. Hệ tương đương với:

[TEX]\begin{cases} u + v = 4 \\ \sqrt {{u^2} + 5}  + \sqrt {{v^2} + 5}  = 6\end{cases}\,\,\,\,\,\left( * \right)[/TEX]

Từ phương trình thứ nhất, ta có: [TEX]v = 4 - u,\,\,v \ge 0 \Rightarrow u \le 4[/TEX].

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

[TEX]\sqrt {{u^2} + 5}  + \sqrt {{{\left( {4 - u} \right)}^2} + 5}  = 6 \Leftrightarrow \sqrt {{u^2} + 5}  + \sqrt {{u^2} - 8u + 21}  = 6[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow \sqrt {{u^2} + 5}  - 3 + \sqrt {{u^2} - 8u + 21}  - 3 = 0[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow \frac{{{u^2} - 4}}{{\sqrt {{u^2} + 5}  + 3}} + \frac{{{u^2} - 8u + 12}}{{\sqrt {{u^2} - 8u + 21}  + 3}} = 0[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow \left( {u - 2} \right)\left( {\frac{{u + 2}}{{\sqrt {{u^2} + 5}  + 3}} + \frac{{u - 6}}{{\sqrt {{u^2} - 8u + 21}  + 3}}} \right) = 0 \Leftrightarrow u = 2 \Rightarrow v = 2[/TEX]

Từ đó dễ dàng tìm được nghiệm của hệ đã cho.

[tex]C_1[/tex]

Điều kiện: [TEX]x \neq -\dfrac{1}{3}[/TEX]



Xét phương trình:

 


Đến đây anh làm tiếp được rồi.

[tex]C_2:[/tex]
Điều kiện: [TEX]x\neq \frac{-1}{3}[/TEX]

[TEX]pt\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+3}.(3x+1)=(x^{2}+3)+2x^{2}+2[/TEX]

Đặt :[TEX]t=\sqrt{x^{2}+3} (t> 0\forall x \neq \frac{-1}{3})[/TEX]
Phương trình trở thành:
[TEX]t^{2}+(3x+1).t+2x^{2}+2x=0[/TEX]

[TEX]\Delta =(3x+1)^{2}-4(2x^{2}+2x)=(x-1)^{2}[/TEX]

Rút ra được [TEX]t[/TEX] theo [TEX]x[/TEX], rồi thay [TEX]t[/TEX] vào [TEX]t=\sqrt{x^{2}+3}[/TEX] ta tìm ra được [TEX]x[/TEX]

[tex]C_3:[/tex]

Đặt điều kiện [tex]\rightarrow[/tex] bình phương [tex]\rightarrow[/tex] rút gọn ta được phương trình: [tex]x^3-x^2-x+1=0[/tex]
Nhận nghiệm [tex]x=1[/tex]  :x

[tex]C_4:[/tex]

Pt tương đương: [TEX]3x^2+2x+3-(3x+1)\sqrt{x^2+3}=0 \Leftrightarrow x^2+3-(3x+1)\sqrt{x^2+3} +2x^2+2x=0[/TEX]

uk..quên! dễ vậy ha! ngại quá.hi! mà lại gọi mình là anh xưng em nữa...k xứng rồi.hi! bạn học lớp dưới hả?giỏi quá! :D

ow...Alex bạn nhiệt tình quá.cảm ơn bạn nhiều nhé! :x, diễn đàn mình nên có nhiều ng như bạn!hi!

cách này bạn cũng nghĩ ra phục bạn rồi =d>...có mánh nào k chỉ mình cách học mấy cái này với!! cảm ơn bạn nhiều!

Dạ em mới học lớp 10 thôi anh :)

Đây là một trong những cách giải phương trình bằng lượng liên hợp đó anh  ^-^.
Em nói thêm bài này xíu:

Ta nhẩm được nghiệm [TEX]x=1[/TEX]. có nghiệm này thì ta sẽ biết là sẽ phân tích được đa thức ở trên phương trình thành tích của : [TEX](x-1)P(x)=0[/TEX]
 Mà ta thấy ngay được là : [TEX]\sqrt{x^2+3}=2[/TEX] khi [TEX]x=1[/TEX]. Đó là lí do mà ta sẽ trừ [TEX]2[/TEX] vào cả hai vế .Vì trừ rồi thì ở bên vế trái sẽ làm xuất hiện được nhân tử [TEX](x-1)[/TEX].

Khi đã nhẩm được nghiệm, thay vì trừ hai vế cho [TEX]2[/TEX] ta thử trừ cho một lượng khác xem.

Ví dụ: Phương trình đã cho tương đương:
Tất nhiên là phải có điều kiện ta mới làm được như thế. Mọi người nghĩ thế nào?

hay! =d> cảm ơn em nhiều lắm (học k bằng em xưng anh ngại quá.hi, à chị ha bạn :.)),sao gọi mình là anh vậy.kaka)
làm tiếp nhé! chị còn 3 tên nữa:
câu 5:
[tex]\begin{cases} x^2+y^2-xy=3 \\ \sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=4 \end{cases}[/tex]
câu 6:
[tex]\begin{cases} x+y+\sqrt{x^2-y^2}=12 \\ y\sqrt{x^2-y^2}=12 \end{cases}[/tex]
câu 7:
[tex]\begin{cases} x^4-4x^2+y^2-6y+9=0 \\ x^2y+x^2+2y-22=0 \end{cases}[/tex]

p/s: không phiền thì mọi ng cùng lm và giúp đỡ mình nhé.cảm ơn nhiều!

Thế cho em gửi lời xin lỗi bà chị nhé!  =))  [-O<. Em cữ ngỡ tại cứ tưởng có mình bà Yumi là chị thôi.  :P

vô giải đi em!uk! đa số trên mag đều gọi chị là boy hay anh hết.nhầm lẫn này của e k nằm ngoài số đó. :.)).gọi vậy cũng k sao!quen r!

"Chém" bài này trước nhé chị  :D

Điều kiện: [TEX]{x^2} \ge {y^2}[/TEX]

Chuyển vế, bình phương hai vế của phương trình thứ nhất, ta được:

[tex]y + \sqrt {{x^2} - {y^2}} = 12 - x[/tex]

[tex]\Leftrightarrow {y^2} + {x^2} - {y^2} + 2y\sqrt {{x^2} - {y^2}} = 144 - 24x + {x^2}[/tex]

[TEX] \Rightarrow y\sqrt {{x^2} - {y^2}}  = 72 - 12x[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 12 = 72 - 12x \Rightarrow x = 5[/TEX]

[TEX] \Rightarrow y\sqrt {25 - {y^2}}  = 12[/TEX]

[TEX]\Rightarrow {y^2}\left( {25 - {y^2}} \right) = 144 \Rightarrow {y^4} - 25{y^2} + 144 = 0[/TEX]

[Tex]\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {y^2} = 9\\ {y^2} = 16 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} y = \pm 3\\ y = \pm 4 \end{array} \right.[/Tex]

Kiểm tra lại để kết luận nghiệm

[tex]C_2:[/tex] Bình phương hai vế của phương trình thứ hai, kết hợp với phương trình thứ nhất, ta sẽ giải phương trình bậc hai theo [TEX]xy[/TEX]. Từ đó có hệ mới hoàn toàn giải được bằng các phép đơn giản.

[tex]C_1:[/tex]
Ta có :
[TEX]\bullet 3= x^{2}+y^{2}-xy \geq x^{2}+y^{2}- \frac{ x^{2}+y^{2}}{2 }[/TEX] [TEX]\Rightarrow x^{2}+y^{2} \leq 6[/TEX]

[TEX]\bullet 16 = (\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1} )^{2}\leq 2(x^2+y^2+2)\leq 16[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi : [TEX]x=y = \pm \sqrt{3}[/TEX]

Hệ đã cho tương đương với:

[tex]\begin{cases} {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4 \\\left( {{x^2} + 2} \right)y + {x^2} - 2 = 20 \end{cases}[/tex]

Đặt: [tex]\begin{cases} u = {x^2} + 2 \ge 2 \\v = y - 3\end{cases}[/tex], hệ trở thành:

[tex]\begin{cases} {u^2} + {v^2} = 4 \\\left( {u - 4} \right)\left( {v + 3} \right) + u = 20\end{cases}[/tex]
Giải hệ trên bằng phương pháp thế là chị tìm được kết quả.

Có chỗ nào không rõ chị nói nhé  ^-^

uk cảm ơn em!hihi! :x, nhìn em làm ngon ở à!hihi! dễ vậy mà chị chưa nghĩ ra đó. phải luyện tập thêm mới dc. có j nhờ chú em jup Alex nhỉ?hihi!

cái pt thứ 1 em dùng cosi hả? đã có đk x, y dương đâu?  ??? :D

Bất đẳng thức [tex]xy\leq \frac{x^2+y^2}{2}\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0[/tex] nên đúng [tex]\forall x,y[/tex]. Không phải là Cô si.

Nhìn vào phương trình thấy ngay được nghiệm x= 1.  Vì thế ta có thể bình phương hai vế !