Diễn Đàn Vật Lý | Thư Viện Vật Lý

CMR : Góc lệch Dmin của lăng kính thì i1 = i2 , r1=r2 .
 ho:)

Có phải chứng minh như thế này ko?

D=i1 + i2 - A.

Với A ko đổi, i1 và i2>0. Dmin khi (i1+i2)min. Mà dùng bất đẳng thức cô si, hai số dương min khi i1=i2 --> r1=r2.

P/s: Với hai số dương a và b, [tex]a+b\geq 2\sqrt{ab}[/tex], đẳng thức xảy ra khi a=b.

Chứng minh cũng ko khó! Nhưng em xl mún hỏi là topic này cần giúp đỡ hay ra cho mọi người CM vậy ạ? Vì em thấy bài vi phạm nội qui

Cô Hồng Nhung ơi! Tích số i1.i2 có phải là hằng số ko ạ? Nếu ko phải thì CM như vậy chưa được rồi :D

dạ , em muốn mọi người chứng minh giùm em với ạ.

Mình nghĩ bài toán này chứng minh bằng BĐT Jensen.  
Trước tiên, mình xin nói sơ qua về BĐT Jensen:
Cho hàm f(x), nếu f là hàm lồi thì [tex]\sum_{i=1}^{n}{\frac{f(x_{i})}{n}}[/tex][tex]\leq[/tex]f([tex]\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}[/tex]) và ngược lại.
Đặt f(x)=sin(x);
Ta có, trên đoạn từ [0,90], f(x) là hàm lồi ( do f ''(x)<0 )
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{sinr_{1}+sinr_{2}}{2}\leq[/tex]sin([tex]\frac{r_{1}+r_{2}}{2}[/tex])=sin(A/2)[tex]\Rightarrow sinr_{1}+sinr_{2}\leq[/tex]2sin(A/2) [tex]\Rightarrow[/tex]sini[tex]_{1}[/tex]+sini[tex]_{2}[/tex][tex]\leq[/tex]2nsin(A/2) (n là chiết suất lăng kính).
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]r_{1}=r_{2}=\frac{A}{2}\Rightarrow i_{1}=i_{2}[/tex]
Tuy nhiên, mình vẫn còn khúc mắc 1 vấn đề là tại sao sini[tex]_{1}[/tex]+sini[tex]_{2}[/tex] max thì i[tex]_{1}[/tex]+i[tex]_{2}[/tex] lại min, ai pro toán chứng minh tiếp dùm mình nha.

Các bạn có thể tham khảo cách chứng minh sau đây:
http://usna.edu/Users/physics/mungan/Scholarship/MinimumDeviation.pdf
Đây cũng là cách chứng minh duy nhất mình được biết. Các bất đẳng thức cổ điển chưa đủ mạnh để giải bài này.

Dùng khảo sát cũng được :D
- Ta có: D = i1 + i2 - A ==> dD = di1 + di2 ==> [tex]\frac{dD}{di1} = 1 + \frac{di2}{di1}[/tex] (1)

- Ta tìm [tex]\frac{di2}{di1}[/tex]

sini1 = nsinr1 và sini2 = nsinr2 ==> cosi1di1 = ncosr1dr1 và cosi2di2 = ncosr2dr2

==> [tex]\frac{di2}{di1} = \frac{cosr_2cosi_1}{cosr_1cosi_2}\frac{dr_2}{dr_1}[/tex]

Mặt khác r1 + r2 = A ==> dr1 = - dr2

==> [tex]\frac{di2}{di1} = -\frac{cosr_2cosi_1}{cosr_1cosi_2}[/tex] (2)

Thay (2) vào (1) ta có: [tex]\frac{dD}{di1} = 1 -\frac{cosr_2cosi_1}{cosr_1cosi_2} = \frac{cosr_1cosi_2 - cosr_2cosi_1}{cosr_1cosi_2}[/tex] (3)

[tex]\frac{dD}{di_1} = 0[/tex] khi [tex]cosr_1cosi_2 - cosr_2cosi_1 = 0[/tex] ==> [tex]cos^2r_1cos^2i_2 = cos^2r_2cos^2i_1[/tex]

==> [tex](1 - \frac{1}{n}sin^2i_1)(1-sin^2i_2) = (1-\frac{1}{n}sin^2i_2)(1-sin^2i_1 )[/tex]


==> [tex]sin^2i_1 = sin^2i_2[/tex] hay i1 = i2

Vậy D đạt cực trị khi i1 = i2. Bây giờ ta sẽ xét xem cực trị đó là CĐ hay CT

Do các cos luôn dương nên từ (3) ta thấy [tex]\frac{dD}{di_1}[/tex] cùng dấu với  [tex]cosr_1cosi_2 - cosr_2cosi_1[/tex]

hay cùng dấu với [tex]y = cos^2r_1cos^2i_2 - cos^2r_2cos^2i_1 = (n-1)(sin^2i_1 - sin^2i_2)[/tex]
 Ta thấy khi 0<i1<i2 thì y < 0 ==> D ngịch biến; i2<i1<90o thì y > 0 ==> D đồng biến

==> D đạt cực tiểu khi i1 = i2 hay r1 = r2

Bài này có thể chứng minh dựa vào nhận xét từ thí nghiệm SGK Vật Lý 11 trang 231:
    "Tia sáng qua lăng kính cho góc lệch cực tiểu Dmin thì Đường đi của tia sáng đối xứng qua mặt phân giác của góc ở đỉnh A"
    tức tam giác AII' cân tại A (tia sáng khúc xạ 2 lần tai I va I')
Ta có thể suy ra được i = i'
                                r = r'