Diễn Đàn Vật Lý | Thư Viện Vật Lý

Hãy Tính :[tex]\int_{0}^{\varpi }{\frac{x^{3}}{e^{x}+1}}dx[/tex]
Cận từ 0 đến vô cùng
Mọi người giúp em !

Em xem lại ở dưới mẫu là "+ 1" hay "- 1"?

Anh nói hướng giải nếu nó là " -1" cho em !
Em cảm ơn anh !

Tích phân này xuất hiện trong định luật Stefan-Boltzmann khi khảo sát bức xạ của vật đen. Tích phân này phức tạp đó! Anh thật sự không nhớ cách làm mà chỉ tham khảo từ các sách toán. Đáp án của nó là  [tex]\frac{\pi ^{4}}{15}[/tex].

Các bước tính như sau:

1. Biến đổi :

[tex]\frac{1}{e^{x} - 1} = \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}}=\sum_{n=1}^{inf}{e^{-nx}}[/tex]

2. Tích phân đã cho sẽ trở thành:

[tex]TP = \sum_{n=1}^{inf}{{\int_{0}^{inf}{x^{3}e^{-nx}}}}dx[/tex]

Ở trên inf nghĩa là vô cùng.

3. Khoan quan tâm đến tổng. Tính tích phân [tex]{\int_{0}^{inf}{x^{3}e^{-nx}}dx[/tex] theo phương pháp từng phần. Khi tính, đặt biến thích hợp để giảm mũ x^3 xuống còn x^2, x^1,... Phải thực hiện tích phần từng phần vài lần. Dựa trên điều kiện tích phân tính từ 0 đến vô cùng mà một số hạng tử kết quả của tính tích phân từng phần sẽ bằng 0.

Cuối cùng, sẽ thu được kết quả : [tex]{\int_{0}^{inf}{x^{3}e^{-nx}}dx = \frac{6}{n^{4}}[/tex]

4. Vậy tích phân ban đầu trở thành:

[tex]TP = 6\sum_{n=1}^{inf}{\frac{1}{n^4}}[/tex]

5. Tổng theo n ở trên chính là hàm Riemann zeta* [tex]\zeta (4)[/tex], có giá trị là [tex]\frac{\pi ^{4}}{90}[/tex].

6. Giá trị của tích phân đã cho là [tex]\frac{\pi ^{4}}{15}[/tex].

( * ) Hàm Riemann zeta : http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function

PS: Trong các sách VL, có thể họ chỉ đưa ra đáp án mà không chứng minh, vì tích phân này khá đặc biệt.

Sao Anh Giỏi Thế ! Anh Là Người Nước Ngoài Hay Sao ?

Anh là người VN chứ. Mấy cái này đã có học qua rồi nên nhớ chút chút.

Sao cứ nghĩ là ngừoi nứoc ngoài mới giỏi hả trời?

vậy chắc chắn anh trần Quỳnh đang ở nước ngoài !
em thoáng nghĩ như thế ! Em có đọc một số tác phẩm viết về người Anh , mỹ,...
Ở đó Họ có cách làm việc rất nghiêm túc, khoa học !
Không hiểu sao mỗi lần nghĩ về Anh Tran Quynh em lại thấy nét hao hao như vậy !
Hì Hì
À Anh nói giúp em bài Tích phân này làm sao nha
Tìm [tex]\int e^{x^{2}}dx[/tex]

Em đang học môn gì mà tính tích phân khó quá vậy? Tích phân vừa cho không thể tính ra theo các hàm cơ bản được. Nếu có dấu '-' ở chỗ mũ x bình phương thì tích phân sẽ dễ hơn nhiều. Anh nghĩ sao ở cấp bậc đại học mà lại có những thứ khó như vậy?

Xin đính chính lại: có dấu '-' hay không cũng vậy. Tích phân loại này không tính ra được theo các hàm cơ bản.

1. Ở đây ta sẽ xét trước bài toán [tex]\int {e^{-x^{2}}}dx[/tex] :

Bài này nếu như có cận là 0, vô cùng hoặc  -vô cùng thì có thể giải bằng cách đổi biến sang tọa độ cực rồi dùng tích phân 2 lớp. Từ đó có thể thu được kết quả là những hàm đơn giản (pi). Nếu như cận không xác định (bất kỳ) thì chỉ có thể giải bằng cách sau: Dùng khai triển Taylor.

Khai triển Taylor của hàm mũ [tex]{e^{x}}[/tex] là:

[tex]e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{5}}{120}+...+\frac{x^{n}}{n!}[/tex]

Áp dụng cho [tex]{e^{-x^{2}}}[/tex], ta có:

[tex]e^{-x^{2}} = 1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{8}}{24} - \frac{x^{10}}{120}+...[/tex]

Từ đó, dễ dàng tính được tích phân đã cho:

[tex]TP = 1 - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{10} - \frac{x^{7}}{42} + \frac{x^{9}}{216} - \frac{x^{11}}{1320}+...[/tex]

Để cho thuận tiện, người ta định nghĩa hàm lỗi (erf(x) : error function) như sau:

[tex]erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} * [1 - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{10} - \frac{x^{7}}{42} + \frac{x^{9}}{216} - \frac{x^{11}}{1320}+...][/tex]

Từ đó:

                         [tex]\int {e^{-x^{2}}}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} * erf(x)[/tex]

Trường hợp đặc biệt của erf(x) : erf(- vô cùng) = -1; erf(0) =0; erf(vô cùng) = 1. Cho nên nếu có cận 0 hoặc +/- vô cùng thì ta có thể tính được tính phân trên qua pi.

Nếu như là cận bất kỳ thì ta có thể tham khảo giá trị tương ứng của hàm erf(x) trong các tài liệu về toán.

2. Bây giờ ta sẽ xét bài toán [tex]\int {e^{x^{2}}}dx[/tex] :


Ở đây cần phải dùng đến số phức i  (i^2 = -1). Biến đổi tích phân trên như sau:

 [tex]\int {e^{x^{2}}}dx[/tex] =  [tex]\int -i{e^{-(ix)^{2}}}d(ix)[/tex] = [tex]-i*\frac{\sqrt{\pi}}{2} * erf(ix)[/tex]

Hàm erf mà lấy giá trị biến là ảo thì không biết phải tính như thế nào (?!).

------------------
Tham khảo thêm ở đây:

Khai triển Taylor : http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function (xem mục Formal definition)
Hàm erf: http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function

Cái này ko phải tích phân trong vật lý, nếu trong vật lý phải có dấu trừ trên mũ. Đơn giản hầu hết các giá trị vật lý đều hữu hạn, tiến đến 0 ở vô cùng. Mình học 4 năm vật lý, giờ đang học cao học Toán Lý (VLLT và VLT), cũng chưa dùng đến tích phân như thế bao giờ. Cũng ko biết cái đó nó dùng trong việc gì?

Không nhất thiết tích phân trên phải lấy cận ở vô cùng. Và nếu lấy cận hữu hạn thì giá trị tích phân sẽ hữu hạn.

Tích phân này có liên quan đến hàm Dawson hay tích phân Dawson. Nó cũng có ứng dụng trong một số hiện tượng vật lý đấy.

Em cảm ơn anh !
Em thử đặt [tex]t=e^{x^{2}}\Rightarrow dt = 2x.e^{x^{2}}dx=2x.tdx =2\sqrt{lnt}.tdx[/tex]
Vậy chắc có vẻ đơn giản hơn không anh ?
Em chỉ làm sơ cấp đến đó ! Và tích phân còn lại em tính chưa ra !

Như đã nói ở trên tích phân này không tính ra được nên cho dù có đổi biến thế nào thì vẫn vậy thôi. Trong toán học cao cấp, người ta dùng hàm erf(x) để định nghĩa tích phân này; giống như sin(x), cos(x) vậy đó, chúng ta không cần biến đổi thêm nữa. Khi biết x thì giá trị của sin(x), cos(x) có thể được tra cứu (dùng máy tính). Hàm erf(x) cũng vậy, nếu biết x thì chỉ cần tra cứu hoặc tính gần đúng để ra được giá trị của hàm.