Diễn Đàn Vật Lý | Thư Viện Vật Lý

Giải phương trình: [tex]25x+ 9\sqrt{9x^{2}-4}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{18x}{1+x^{2}}[/tex]

Cám ơn mọi người.

Hình như đây là bài ra trên báo THTT thì phải.

Giải:
Điều kiện: [tex]\left| x \right| \ge \frac{2}{3}[/tex]

[tex]\bullet[/tex] Với [tex]x \ge \frac{2}{3}[/tex], phương trình tương đương với:
[tex]25 + \dfrac{{9\sqrt {9{x^2} - 4} }}{x} = \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{{18}}{{1 + {x^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)[/tex]
Dễ thấy phương trình [tex](1)[/tex] có [tex]VT > 25[/tex] và do [tex]x \ge \dfrac{2}{3}[/tex], ta có [tex]VP \le \dfrac{9}{2} + \dfrac{{162}}{{13}} < 25[/tex] nên phương trình vô nghiệm.

[tex]\bullet[/tex] Với [tex]x \le  - \frac{2}{3}[/tex], phương trình tương đương với:
[tex]25 - 9\sqrt {9 - \dfrac{4}{{{x^2}}}}  = \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{{18}}{{{x^2} + 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)[/tex]
Đặt [tex]t = \dfrac{1}{{{x^2}}}\,\,\left( {0 < t \le \frac{9}{4}} \right)[/tex], phương trình [tex](2)[/tex] trở thành:
[tex]25 - 9\sqrt {9 - 4t}  = 2t + \dfrac{{18t}}{{1 + t}} \Leftrightarrow 9 - 9\sqrt {9 - 4t}  = 2t + \dfrac{{18t}}{{1 + t}} - 16[/tex]
[tex] \Leftrightarrow \dfrac{{36\left( {t - 2} \right)}}{{\sqrt {9 - 4t}  + 1}} = \dfrac{{2\left( {t - 2} \right)\left( {t + 4} \right)}}{{t + 1}} \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {\dfrac{{18}}{{\sqrt {9 - 4t}  + 1}} - \dfrac{{t + 4}}{{t + 1}}} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)[/tex]
Với [tex]0 < t \le \dfrac{9}{4}[/tex] có [tex]\dfrac{{18}}{{\sqrt {9 - 4t}  + 1}} \ge \dfrac{{18}}{4}[/tex] và [tex]\dfrac{{t + 4}}{{t + 1}} = 1 + \dfrac{3}{{t + 1}} < 4 < \dfrac{{18}}{4}[/tex] nên [tex]\dfrac{{18}}{{\sqrt {9 - 4t}  + 1}} - \dfrac{{t + 4}}{{t + 1}} > 0[/tex]

Vậy [tex]\left( 3 \right) \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow x =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\left( \text{vì x < 0} \right)[/tex]

KL: Phương trình đã cho có nghiệm là [tex]\mathbf{x =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}[/tex].