Logo Thư Viện Vật Lý
Banner Thư Viện Vật Lý

Một vài vấn đề về Siêu hấp dẫn
Người đăng: Trần Triệu Phú   
04/09/2009
Untitled Document

1. Từ lý thuyết tổng quát tới siêu hấp dẫn đa chiều

a) Siêu hấp dẫn

Một vài thực nghiệm đã chứng tỏ rằng mô hình chuẩn không hoàn toàn đúng trong một số trường hợp. Tuy nhiên, nếu chúng ta cứ nhất quyết tin rằng nó được bao hàm trong một lý thuyết cơ bản hơn thì chúng ta sẽ phải đối mặt với một loạt các vấn đề nan giải. Một ví dụ, trong lý thuyết thống nhất lớn, các thành phần ở tầm tỉ lệ bậc MGUT  ≈ 1015GeV sẽ gây ra bài toán gauge hierarchy. Không còn sự đối xứng để bảo vệ khối lượng các hạt vô hướng, Higgs,  chống lại sự phân kì bậc 2 trong lý thuyết nhiễu loạn....

Mặt khác, lực hấp dẫn, một trong 4 lực cơ bản của tự nhiên không được bao gồm trong mô hình chuẩn, ngày nay, lý thuyết trường lượng tử đã mô tả cho chúng ta về điều này. Đây là bài toán hiển nhiên gặp phải trong mô hình chuẩn, nó mô tả lực mạnh, lực yếu và lực điện từ thông qua đối xứng gauge nội tại (internal gauge symmetry) SU(3)xSU(2)xU(1). Tuy nhiên, lý thuyết tương đối tổng quát  (1915) mô tả tương tác hấp dẫn lại là một lý thuyết cổ điển. Trong tình hình này, cả 2 lý thuyết dường như không có mội liên hệ gì với nhau.

Như vậy, câu hỏi đặt ra là làm thế nào để lượng tử hóa thuyết tương đối tổng quát và thống nhất với mô hình chuẩn. Mấu chốt quan trọng giúp trả lời câu hỏi trên là quay lại siêu đối xứng trong trường hợp cụ thể với siêu đối xứng định xứ (local supersymmetry).

Đại số siêu đối xứng có chứa đại số Poincare định xứ, khi ta áp dụng nguyên lý gauge thì sẽ xuất hiện trường hấp dẫn như một trường gauge và một trường khác là trường spinor vecto với spin 3/2. Trường này được biết là trường gravitino, bạn đồng hành của graviton (spin 2).

Lý thuyết thu được trên đây là lý thuyết siêu hấp dẫn (supergravity).

Trong khi trường hấp dẫn là nguyên lý gauge của không thời gian toàn cục thì tương tự như vậy chúng ta sẽ thấy rằng siêu hấp dẫn chính là nguyên lý gauge của siêu đối xứng định xứ.

Chúng ta bắt đầu với giản đồ biến đổi hai vi phân của trường boson B liên tục trong siêu đối xứng định xứ:

  (1)

            (2)

Với F là trường fermion.

Từ (1) ta có thể buộc tham số ε phải có  thứ nguyên [ε] = -1/2 đơn vị khối lượng vì [B] = 1 và [F] = 3/2. Theo đó, phương trình (2) phải chứa một đạo hàm để có thể đảm bảo sự thỏa mãng về thứ nguyên. Điều này gợi ý rằng 2 phép biến đổi siêu đối xứng cục bộ phải dẫn đến sự biến đổi không thời gian

 (3)

như vậy, siêu đối xứng là trường hợp mở rộng của đại số Poincare trong đối xứng không thời gian thỏa hệ thức phản giao hoán

 (4)

Rõ ràng Q không là một toán tử siêu đối xứng cục bộ như trong đối xứng của mô hình chuẩn, SU(3)xSU(2)xU(1) vì nó có liên hệ với toán tử biến đổi không thời gian Pμ.

Xây dựng siêu đối xứng định xứ trong siêu đối xứng toàn cục, ε = ε(x), khi đó, sự biến đổi của không thời gian từ điểm này đến điểm khác được biểu diễn thông qua toán tử aμμ. Cho nên, siêu đối xứng định xứ là điều cần thiết dẫn đến hấp dẫn như hình dưới.

Tình hình này đã được chỉ ra ở đầu tiểu luận. Rõ ràng vì lý do này, ta cũng gọi siêu đối xứng định xứ là siêu hấp dẫn.

Nó cho ta thấy rõ ràng về những gì cần cho hấp dẫn trong siêu đối xứng định xứ. Chúng ta thử một trường hợp đơn giản trong trường hợp trường vô hướng Φ cùng với đồng hành siêu đối xứng của nó ψ (fermion spin 1/2). Ta có Lagrangian

                        (5)

bất biến trong siêu đối xứng toàn cục:

            (6)

         (7)

Tuy nhiên, nó không bất biến trong siêu đối xứng định xứ vì ε → ε(x)

   (8)

Với

               (9)

Để cho L vẫn bất biến, trường gauge phải được đưa vào với phép nối Noether

     (10)

Trong đó k được đưa vào để L đúng thứ nguyên [LN] = 4. ψ là trường spinor vecto Majorana với spin 3/2 và cũng được gọi là gravitino, biến đổi theo

                         (11)

Tuy nhiên L + LN vẫn không bất biến vì

  (12)

với Tμν là tensor năng – xung.

Sự dư thừa này có thể khư đi bằng cách thêm số hạng

           (13)

với điều kiện

           (14)

Như vậy, trong bất kì một lý thuyết siêu đối xứng định xứ nào cũng đều tồn tại một hấp dẫn (gravity).

Trong trường hợp cụ thể, mô hình chuẩn với siêu đối xứng toàn cục có chứa siêu đa tuyến chiral (chiral supermultiplet) (ψ, Φ). Với ψ kí hiệu cho các quark, lepton, Higgsino và Φcho squark, slepton, Higgs cộng với vecto siêu đa tuyến (V, λ) với các gauge boson và các gaugino (spin 1/2 fermion Majorana) tương ứng. Với sự có mặt của siêu đối xứng cục bộ, chúng ta cũng phải kể đến siêu đa tuyến hấp dẫn (gravity supermultiplet) (gμν, Ψμα) với graviton và gravitino tương ứng. Gravition dựa trên các quy luật của trường gauge trong siêu đối xứng định xứ.

Chúng ta có thể nói rằng siêu hấp dẫn là lý thuyết lượng tử của hấp dẫn. Vì chúng ta có một sự đối xứng hơn trong hấp dẫn thuần túy.

Lý thuyết này cơ bản là phù hợp và thuận lợi, tuy nhiên, đối xứng và siêu đối xứng vẫn không thể loại bỏ tất cả điểm phân kì trong lý thuyết. Để hiểu sơ lượt các sơ đồ này, chúng ta nên để ý đến các đồng hành siêu đối xứng trong các giản đồ. Một ví dụ, trong lý thuyết Maxwell-Einstein, đóng góp vào tương tác photon-photon được biểu diễn bằng giản đồ như hình (a) dưới (dấu “…” kí hiệu cho các giản đồ một vòng khác bao gồm các graviton và photon), chúng ta phải thêm trong giản đồ này các hạt siêu đối xứng, gravitino và photino như hình (b)

(a)

(b)

đóng góp cho mỗi giản đồ được tính bằng “lượng vô hạng” (infinite quantity) nhân với hệ số dưới mỗi giản đồ. “Lượng vô hạng” giống nhau cho tất cả các giản đồ. Thật bất ngờ là các hệ số thêm vào này cho thấy tổng là 25/12 (khác 0) tức là không khử được phân kì.

Chúng ta đã chỉ ra rằng siêu đối xứng đơn giản không đủ để giải quyết bài toán vô hạn trong hấp dẫn lượng tử. Vì vậy, phần sau đây sẽ giúp trả lời câu hỏi liệu siêu đối xứng mở rộng có thể giải quyết được bài toán này.

 b) Siêu hấp dẫn mở rộng

Trong mở rộng này, ta xét các toán tử siêu đối xứng

            (15)

Với

         (16)

Trong đó λ là các helicity trong trạng thái không khối lượng. Trong trường hợp này, siêu đa tuyến hấp dẫn sẽ chứa gravitino vì

                (17)

Mặt khác, vì

  (18)

nên chúng ta thiết lập được điều kiện

N ≤ 8           (19)

nhằm tránh xuất hiện các hạt không khối lượng với λ > 2.

Trong phần trước, ta đã thảo luận siêu đối xứng với N = 1, trường hợp mở rộng đơn giản nhất của N = 1 là siêu đối xứng N = 2. Đây thực sự là trường hợp mô tả đúng ước mơ của Einstein trong việc thống nhất trường điện từ và trường hấp dẫn. Ta xem xét trường hợp này.

            (20)

Các hệ thức trên phát triển trên chỉ một siêu đa tuyến với 1 graviton, 2 gravitino và một photon (2, 3/2, 1). Đây là mô hình đầu tiên khắc phục hạn chế lượng tử hữu hạn. Điều nàu được chỉ ra trên hình vẽ sau

Trong hình vẽ này (N = 2), so sánh với hình vẽ trước đó ứng với N = 1, ta thấy photino của hình vẽ trước được thay bằng một gravitino thứ hai. Và bây giờ, ta thấy tổng các hệ số là bằng không, tức là đã khử được phân kì.

Mặc dù đây là kết quả đầy hứa hẹn, nhưng thực tế, đối với các tán xạ hơn một vòng lặp photon-photon thì  không hữu hạn. Trong môi trường vật chất, tình hình còn xấu hơn, như tán xạ vô hướng – vô hướng…Điều này buộc chúng ta phải quay lại bài toán ban đầu về hấp dẫn lượng tử. Trên nguyên tắc, chúng ta đã chưa khai thác hết các trường hợp khả dĩ. N = 8 là con số lớn nhất của siêu đối xứng mà chúng ta có thể nghiên cứu. Vì các lý thuyết càng đối xứng thì càng hội tụ cho nên ta cần khảo sát trường hợp này. Thực vậy, trường hợp N = 8 rất hấp dẫn vì trường hấp dẫn, trường Yang-Mills, đa tuyến vật chất không thể tồn tại độc lập. Chúng cùng thuộc một đa tuyến của lý thuyết

      (21)

Ví dụ với spin (helicity) 1/2, ta có 56 trạng thái vì vậy chúng ta có thể viết dạng kết hợp sau

     (22)

Trong trường hợp tổng quát, số trạng thái của spin (helicity) λ – m/2

    (23)

Do đó, siêu hấp dẫn N = 8 có đủ bậc tự do để thống nhất một cách hiệu quả tất cả tương tác. Nhưng một lần nữa, sự phân kì lại tồn tại! Bắt đầu từ trường hợp tán xạ graviton-graviton 7 vòng kín.

Hiển nhiên, đây không chỉ là bài toán của siêu hấp dẫn mở rộng. Tất cả chúng đều là none-chiral. Với N = 2 ta có

             (24)

Như vậy, chúng ta thu được cùng một siêu đa tuyến

       (25)

Vì trong trường hợp của mô hình chuẩn, như eL SU(2) nhưng eR­ là một đơn tuyến nên trường eR­ phải thuộc cùng một đa tuyến của eL. Chúng được gọi là hạt đồng hành gương (mirror partner). Chúng phải có khối lượng vượt ra ngoài các kết quả thực nghiệm hiện tại. Một mặt, chúng là các yếu tố cần thiết để xây dựng các mô hình thực tế hơn với sự sinh khối lượng của các gương. Mặt khác, vì chiral dị thường xóa mất sự sinh khối lượng này, như vậy câu hỏi cần đặt ra là tại sao các đồng hành gương này lại tồn tại? Vấn đề này sẽ được giải quyết trong phần sau.

Như vậy, đến đây chúng ta đã biết:

·            N = 0 ta có hấp dẫn lượng tử tức là vượt ra ngoài siêu đối xứng, là không tái chuẩn hóa được.

·            N = 1, siêu hấp dẫn bao gồm cả hấp dẫn nhưng cũng không tái chuẩn hóa được

·            N > 1, siêu hấp dẫn không những không tái chuẩn hóa được mà còn không hài hòa được với quan điểm hiện tượng luận. (ít nhất là trong 4 chiều)

c) Siêu hấp dẫn và siêu dây

Người ta đã tính toán xây dựng được mô hình siêu hấp dẫn tương đương với siêu dây trong trường hợp giới hạn năng lượng thấp.

Theo đó, sự trao đổi graviton giữa 2 hạt cơ bản trong lý thuyết trường lượng tử và lý thuyết siêu dây được mô tả trong hình dưới đây.

Phân kì               Hữu hạn

Siêu hấp dẫn là trung gian giữa lý thuyết sau cùng của hạt cơ bản (liệu có phải là siêu dây?) và mô hình chuẩn siêu đối xứng đạt được tại vùng năng lượng thấp (so với năng lượng Planck).

 

d) Siêu hấp dẫn đa chiều

Vì lý thuyết siêu dây chỉ được xây dựng trong không thời gian 10 chiều (D = 10) nên xây dựng một siêu hấp dẫn trong không thời gian đa chiều là rất cần thiết. Ví dụ hệ siêu Yang-Mills siêu hấp dẫn với bộ D = 10, N = 1 là khu vực không khối lượng của lý thuyết siêu dây loại I.

Để xây dựng siêu hấp dẫn thuần túy N = 1, bậc tự do fermion phải bằng với bậc tự do boson.

Ví dụ, để suy ra số chiều của spinor Dirac trong không thời gian D chiều, ta xây dựng ma trận Dirac theo đại số Clifford , kết quả là

D chẵn                       

         D lẻ                  (26)

Trong trường hợp đang xét, D = 10, theo đó λ có 23 thành phần phức. Sử dụng điều kiện Majorana, chúng ta giảm được còn 16 thành phần. Với điều kiện Weyl chúng ta giảm còn được 8 thành phần. Như vậy phương trình trường cuối cùng chỉ còn 8 thành phần thực.

Lagrangian có thễ dễ dàng tìm được bằng phương pháp Noether hoặc bằng phương pháp  khử chiều từ lý thuyết. Trong trường hợp cụ thể với siêu hấp dẫn D = 11, N = 1. Ta có kết quả

         

           + các hệ số 4-fermion             (27)

Trong đó   mô tả toàn bộ sự bất đối xứng phát sinh bởi   và Hμνρ. Nó đặt trưng cho cường độ trường của tensor bất đối xứng Hμν.   (với m là chỉ số Lorentz định xứ) phải được dùng thay cho metric gμν khi có sự hiện diện của fermion. Mối quan hệ giữa chúng là   và

Lagrangian này là bất biến trong siêu biến đổi định xứ

        + số hạng 2-ferminon

           + số hạng 2-ferminon                                                          (28)

Một mặt, chiều của không thời gian trong siêu đối xứng phải thỏa mãn D ≤ 11, nếu không thì với số bậc tự do cao hơn đó sẽ làm xuất hiện các hạt không khối lượng có spin lớn hơn 2. Một điều khá thú vị là siêu hấp dẫn D = 11, N = 1 là trường hợp giới hạn với năng lượng thấp của lý thuyết M (M-theory).

Thuật ngữ lý thuyết M được Witten đặt ra bắt đầu từ hội nghị String’95. Khi đó Witten thông báo rằng nếu xuất phát với lý thuyết dây loại IIA và tăng hằng số liên kết của nó từ giá trị rất nhỏ hơn 1 tới giá trị rất lớn hơn 1 thì vật lý mà ta phân tích được sẽ có gần đúng năng lượng thấp là 11 chiều. Phát hiện này đã gây một sửng sốt. Làm sao mà một lý thuyết 11 chiều lại có thể liên quan tới một lý thuyết khác chỉ có 10 chiều? Trả lời câu hỏi này là cả một hệ các kết quả sâu sắc, trong giới hạn tập tiểu luận này, tôi xin không bàn tới. Dù cho lý thuyết 11 chiều là gì đi nữa, Witten cũng tạm đặt tên cho nó là lý thuyết M (M-theory). Có nhiều cách để người ta lý giải về cái tên này, lý thuyết Mẹ (Mother-theory), lý thuyết màng (Membrane-theory), lý thuyết ma trận (Matric-theory),…Lý thuyết M là một khuôn khổ thống nhất 5 lý thuyết siêu dây.

Như vậy, nghiên cứu lý siêu hấp dẫn 11 chiều có một ý nghĩa quan trọng.

Siêu hấp dẫn 11 chiều rất hấp dẫn bởi lẽ bản thân các phương trình siêu hấp dẫn của nó trông có vẻ rất đơn giản và rất tự nhiên, bên cạnh đó, lý thuyết này là duy nhất. Lagrangian:

           (29)

Lagrangian này là bất biến

               (30)

2. Siêu hấp dẫn với D=4, N=2

Mặc dù lý thuyết siêu hấp dẫn với chiều cao hơn hầu như là lý thuyết thống nhất hạt cơ bản như đã nói ở trên, Tuy nhiên, vẫn cón một số vấn đề.

Sau đây ta sẽ phân tích Lagrangian và sau đó, sẽ chỉ ra sự phá vỡ siêu đối xứng tự phát (Spontaneous supersymmetry breaking). Từ đó người ta đề xuất các hệ số được gọi là hệ số phá vỡ siêu đối xứng mềm (soft supersymmetry-breaking term). Hệ số này quyết định phổ của hạt siêu đối xứng  (nói về vấn đề bày là một câu chuyện dài và phúc tạp, tôi xin không bàn đến ở đây).

a) Lagrangian

 Trong phần trước, chúng ta đã xét Lagrangian siêu đối xứng toàn cục của siêu đa tuyến chiral tự do. Chúng ta đã xây dựng được các phép nối giữa chúng với siêu hấp dẫn thông qua phép biến đổi Noether. Trong trường hợp tổng quát, với các siêu đa tuyến chiral tương tác, chúng ta cũng có thể đạt kết quả bằng cách tương tự.

Đầu tiên, chúng ta để ý tới Lagrangian siêu hấp dẫn chiral. Hóa ra nó chỉ phụ thuộc vào một hàm thực bất kỳ của trường vô hướng   và với i, j = 1..n. Hàm Kähler được xác định

        (31)

Hàm Kähler là hàm thực kết hợp thế Kähler K và hàm giải tích, còn được gọi là siêu thế (superpotential) W. Trong tường hợp cụ thể, metric Kij* xác định theo công thức

   (32)

Một tính chất quan trọng của G (và do đó cũng là của Lagrangian) là bất biến trong phép biến đổi

      (33)

với F là hàm tùy ý.

Tính chất này được gọi là bất biến Kähler.

Chúng ta tiến hành chia Lagrangian thành 3 thành phần

                (34)

trong đó,   chỉ có trường boson,   chứa trường fermion và đạo hàm hiệp biến chú ý tới hấp dẫn (tức là bao gồm cả spin siêu đối xứng), còn   chứa trường fermion mà không chứa đạo hàm hiệp biến.

Ta có

            (35)

Trong đó

  ,             (36)

Từ (31), (32) ta còn suy ra được

(37)

    (38)

có chứa số hạng động cho fermion (gravition Ψ spin 3/2, fermion ψi spin 1/2) và một số là không tái chuẩn hóa được. Số hạng cuối trong biểu thức trên có ít nhất 5 chiều khối lượng và do đó phải bị khử đi ở mức năng lượng cỡ 1/MP. Tương tác này được mô tả ở hình dưới

Cuối cùng

            (39)

Để đạt được đầy đủ Lagrangian siêu hấp dẫn với cặp siêu hấp dẫn thuần túy, siêu đối xứng chiral và Yang-Mills, ta phải thêm vào các vecto siêu đa tuyến. Kết quả là

    (40)

Thực hiện các tính toán phức tạp, ta cthu được kết quả cho các phép biến đổi siêu đối xứng định xứ

       (41)

b) Tự phát phá vỡ siêu đối xứng

Trong phần này chúng ta sẽ nói về hiệu ứng siêu Higgs (super-Higgs effect). Quá trình là thế này: Khi trường vô hướng đạt được các giá trị nhất định trong chân không sẽ dẫn đến sự tự phát phá vỡ siêu đối xứng. Hạt goldstino được xem là sự kết hợp của các hạt đồng hành fermion trong trường đó. Gravitino không khối lượng sẽ nuốt lấy khối lượng của các Goldstino và sinh ra các hạt nặng spin 3/2.

Nghiên cứu cụ thể ta thu được một số kết quả

     (42)

Goldstino

       (43)

trong lý thuyết gauge nguyên thủy nó được pha trộn với gravitino do số hạn thứ 2 trong (42) như hình dưới.

(tương tác pha trộn gravitino-goldstino)

Hai bậc tự do của nó (trạng thái spin helicity ±1/2) bị nuốt bởi gravitino để đạt được trạng thái spin helicity ±3/2 và ±1/2.

Như vậy, ta xác định lại trường

         (44)

với khối lượng

     (45)

Tính toán kĩ hơn, ta được

                     (46)

Định nghĩa than phá vỡ siêu đối xứng MS theo

            (47)

Chúng ta đạt được

  (48)

Ví dụ xét mô hình Polonyi, ta được

  (49)

Với

,

 ta thu được

Kết quả này phải được thỏa mãn đối với bất kì một mô hình siêu đối xứng nào.

3. Nhận xét

Siêu hấp dẫn không phải là lý thuyết cuối cùng của hạt cơ bản vì nó không tái chuẩn hóa được. Tuy nhiên nó là một lý thuyết hiệu quả của lý thuyết cuối cùng này (có thể là siêu dây?). Trong trường hợp này, siêu hấp dẫn là đối tượng để kiểm tra thực nghiệm thông qua các dự đoán của phá vỡ siêu đối xứng tự phát và các số hạng phá vỡ đối xứng mềm. Do đó, nghiên cứu về siêu hấp dẫn là thú vị và là quan trọng. Bên cạch đó, vẫn còn một số vần đề còn bỏ ngỏ, những vấn đề liên quan tới sự bền vững và tính đúng đắn của lý thuyết. Trong đó, bài toán về hằng số vũ trụ và cơ học của sự phá vỡ đối xứng là những vấn đề quan trọng nhất.

Trần Triệu Phú - Thuvienvatly.com
HCM, 9/2009

 
Extension Thuvienvatly.com cho Chrome

Chúng tôi hiện có hơn 60 nghìn tài liệu để bạn tìm


ABC Trắc Nghiệm Vật Lý
Cầu vồng   |   Đăng nhập Đăng nhậpnew
Đang online (119)