Câu 6: Mo là chất phóng xạ và biến thànhTc ,Tc lại là chất phóng xạ và tạo thành Ru . Biết chu kỳ Mo là 14,6 phút, của Tc là 14,3 phút. Ban đầu có 5000hạt Mo. Hỏi sau 14,6 phút có bao nhiêu hạt Tc:
A.2500 B.1205 C.1702 D.2507
Bài này gây thắc mắc khá nhiều cho mọi người, ĐQ cũng xin giải đáp, theo sách:
Chuyên đề bồi dưỡng HSG Vật Lý THPT Tập 6: Vật Lý Hiện Đại của thầy Vũ Thanh Khiết, đây là bài toán về cân bằng phóng xạ, ĐQ xin trích dẫn từ sách trên như sau:
CÂN BẰNG PHÓNG XẠ
Ta giới hạn dãy phóng xạ gồm hạt nhân A (hạt nhân mẹ) phân rã thành hạt nhân B (hạt nhân con) và hạt nhân B cũng phân để chuyển thành hạt nhân khác.
Giả sử lúc t = 0 chỉ có hạt nhân A với số hạt là: [tex]N_{A}(0)=N_{0A}[/tex]. Ta có:
[tex]\frac{-dN_{A}}{dt}=\lambda _{A}N_{A}[/tex]
[tex]\frac{dN_{B}}{dt}=\lambda _{A}N_{A}-\lambda _{B}N_{B}[/tex] (1)
Công thức (1) nghĩa là: trong một đơn vị thời gian, số hạt nhân B biến đổi một lượng [tex]\left( \frac{dN_{B}}{dt} \right)[/tex] bằng hiệu số hạt nhân B tạo thành (chính bằng [tex]\lambda _{A}N_{A}[/tex]) trừ số hạt nhân B phân rã (bằng [tex]\lambda _{B}N_{B}[/tex]).
Thay: [tex]\lambda _{A}N_{A}=\lambda _{A}N_{0A}.e^{-\lambda _{A} t}[/tex]
Phương trình vi phân cho [tex]N_{B}[/tex]:
[tex]\frac{dN_{B}}{dt}=\lambda _{A}N_{0A}.e^{-\lambda _{A} t}-\lambda _{B}N_{B}[/tex]
Phương trình này có nghiệm là:
[tex]N_{B}(t)=C.e^{-\lambda _{B}t}+\frac{\lambda _{A}N_{0A}}{\lambda_{B}- \lambda _{A}}.e^{-\lambda _{A} t}[/tex]
Trong đó C là hằng số tích phân.
Với [tex]N_{B}(0)=N_{0B}[/tex] ta có:
[tex]N_{B}(t)=N_{0B}.e^{-\lambda _{B}t}+\frac{\lambda _{A}N_{0A}}{\lambda_{B}- \lambda _{A}}.\left< e^{-\lambda _{A} t} -e^{-\lambda _{B} t} \right>[/tex]
Với [tex]N_{B}(0)= 0[/tex] ta có:
[tex]N_{B}(t)= \frac{\lambda _{A}N_{0A}}{\lambda_{B}- \lambda _{A}}.\left< e^{-\lambda _{A} t} -e^{-\lambda _{B} t} \right>[/tex] (2)
Có thể có hai trường hợp sau:
TH1: [tex]\lambda _{A}<<\lambda _{B}[/tex]: Hằng số [tex]\lambda[/tex] tỉ lệ nghịch với thời gian sống, nên trường hợp này có nghĩa là thời gian sống của hạt nhân A rất lớn so với thời gian sống của hạt nhân B.
Công thức (2) trở thành:
[tex]N_{B}(t)= \frac{\lambda _{A}N_{0A}}{\lambda_{B}}.e^{-\lambda _{A} t}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \lambda_{B}N_{B}(t)=\lambda _{A}N_{A}(t)[/tex] (3)
Công thức (3) có ý nghĩa là: trong một đơn vị thời gian, có bao nhiêu hạt nhân mẹ phân rã (hạt nhân A) thì có bấy nhiêu hạt nhân con phân rã (hạt nhân B). Số lượng hạt nhân B là không đổi. Hệ các hạt nhân A và B nằm trong trạng thái
cân bằng phóng xạ.
Nếu các hạt nhân con trong hệ nằm trong trạng thái cân bằng phóng xạ ta có:
[tex]\lambda _{A}N_{A} = \lambda_{B}N_{B}=\lambda_{C}N_{C}=...= \lambda_{i}N_{i}[/tex]
hay: [tex]\frac{N_{A} }{T_{A}}=\frac{N_{B} }{T_{B}}=...=\frac{N_{i} }{T_{i}}[/tex] (4)
VD: Ta có trong họ Urani [tex]^{238}U[/tex] (có [tex]T_{1}=4,5.10^{9}[/tex] năm) nằm cân bằng phóng xạ với hạt nhân nguyên tố [tex]^{234}U[/tex] (có [tex]T_{2}=2,48.10^{5}[/tex] năm). Công thức (4) cho:
[tex]\frac{N_{B}(t)}{N_{A}(t)}=\frac{T_{2}}{T_{1}}=0,54.10^{-4}[/tex]
Công thức này xác định tỉ lệ [tex]^{234}U[/tex] có trong tự nhiên là [tex]5,4.10^{-3}[/tex]%.
TH2: [tex]\lambda _{A} >> \lambda _{B}[/tex]:Hạt nhân mẹ hầu như hoàn toàn biến đổi sang hạt nhân con sau một thời gian ngắn, trong khi đó số hạt nhân con tạo thành hầu như không thay đổi.
Do đó có thể coi gần đúng: [tex]N_{0A}\approx N_{0B}[/tex].
Định luật biến đổi của [tex]N_{B}(t)[/tex] sẽ là: [tex]N_{B}(t)=N_{0A}.e^{-\lambda _{B}t}[/tex]
VD: Trong họ Urani, từ hạt [tex]^{238}U[/tex] sang hạt [tex]^{234}U[/tex] phải qua hai trạng thái, đó hạt nhân [tex]^{234}Th[/tex] và [tex]^{234}Ra[/tex] đều có thời gian sống rất ngắn so với hai hạt nhân kia.
Như vậy có thể coi [tex]^{238}U[/tex] biến đổi ngay sang hạt [tex]^{234}U[/tex].
