1. Ở đây ta sẽ xét trước bài toán [tex]\int {e^{-x^{2}}}dx[/tex] :Bài này nếu như có cận là 0, vô cùng hoặc -vô cùng thì có thể giải bằng cách đổi biến sang tọa độ cực rồi dùng tích phân 2 lớp. Từ đó có thể thu được kết quả là những hàm đơn giản (pi). Nếu như cận không xác định (bất kỳ) thì chỉ có thể giải bằng cách sau: Dùng khai triển Taylor.
Khai triển Taylor của hàm mũ [tex]{e^{x}}[/tex] là:
[tex]e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{5}}{120}+...+\frac{x^{n}}{n!}[/tex]
Áp dụng cho [tex]{e^{-x^{2}}}[/tex], ta có:
[tex]e^{-x^{2}} = 1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{8}}{24} - \frac{x^{10}}{120}+...[/tex]
Từ đó, dễ dàng tính được tích phân đã cho:
[tex]TP = 1 - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{10} - \frac{x^{7}}{42} + \frac{x^{9}}{216} - \frac{x^{11}}{1320}+...[/tex]
Để cho thuận tiện, người ta định nghĩa
hàm lỗi (erf(x) :
error
function) như sau:
[tex]erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} * [1 - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{10} - \frac{x^{7}}{42} + \frac{x^{9}}{216} - \frac{x^{11}}{1320}+...][/tex]
Từ đó:
[tex]\int {e^{-x^{2}}}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} * erf(x)[/tex]
Trường hợp đặc biệt của erf(x) : erf(- vô cùng) = -1; erf(0) =0; erf(vô cùng) = 1. Cho nên nếu có cận 0 hoặc +/- vô cùng thì ta có thể tính được tính phân trên qua pi.
Nếu như là cận bất kỳ thì ta có thể tham khảo giá trị tương ứng của hàm erf(x) trong các tài liệu về toán.
2. Bây giờ ta sẽ xét bài toán [tex]\int {e^{x^{2}}}dx[/tex] :
Ở đây cần phải dùng đến số phức i (i^2 = -1). Biến đổi tích phân trên như sau:
[tex]\int {e^{x^{2}}}dx[/tex] = [tex]\int -i{e^{-(ix)^{2}}}d(ix)[/tex] = [tex]-i*\frac{\sqrt{\pi}}{2} * erf(ix)[/tex]
Hàm erf mà lấy giá trị biến là ảo thì không biết phải tính như thế nào (?!).
------------------
Tham khảo thêm ở đây:
Khai triển Taylor :
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function (xem mục Formal definition)
Hàm erf:
http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function