Bài số 1 để mình suy nghĩ lại. Bài tìm giới hạn kết quả là 3. Cách giải như sau:
Phân tích các số hạng ra thành hiệu của 2 phân số, cụ thể là : [tex]\frac{2n-1}{2^n}=\frac{n}{2^{n-1}} - \frac{1}{2^{n}}[/tex]. Vậy:
[tex]\frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}\\ \\ \frac{3}{2^{2}} = \frac{2}{2} - \frac{1}{4}\\ \\ \frac{5}{2^{3}} = \frac{3}{4} - \frac{1}{8}\\ \\ \frac{7}{2^{4}} = \frac{4}{8} - \frac{1}{16}\\ \\[/tex]
...
Phép tổng ban đầu trở thành:
[tex]S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \frac{5}{32} + ... + \frac{n-1}{2^{n-1}} + \frac{n}{2^{n}}[/tex]
Hay : [tex]S = 1 + U_{n}[/tex]
Với [tex]U_{n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \frac{5}{32} + ... + \frac{n-1}{2^{n-1}} + \frac{n}{2^{n}}[/tex]
[tex]U_{n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \frac{5}{32} + ... + \frac{n-1}{2^{n-1}} + \frac{n}{2^{n}} = \sum_{x=0}^{x=n}{\frac{x}{2^{x}}}[/tex]
Tổng [tex]U_{n}[/tex] có giá trị là : [tex]U_{n} = 2 - \frac{n}{2^{n}} - \frac{2}{2^{n}}[/tex]
Dễ thấy rằng [tex]U_{n}[/tex] sẽ có giá trị là 2 khi n tiến ra vô cùng. Vì vậy tổng ban đầu đã cho có giới hạn là 3.
PS : Cách chứng minh tổng [tex]U_{n}[/tex]Chia [tex]U_{n}[/tex] cho 2, ta sẽ được:
[tex]\frac{U_{n}}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{4}{32} + ... + \frac{n-1}{2^{n}} + \frac{n}{2^{n+1}}[/tex]
Sau đó lấy [tex]U_{n}[/tex] ban đầu trừ cho [tex]\frac{U_{n}}{2}[/tex] ta sẽ thu được:
[tex]U_{n} - \frac{U_{n}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{n}} - \frac{n}{2^{n+1}}[/tex]
Hay:
[tex]\frac{U_{n}}{2} = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{n}}) - \frac{n}{2^{n+1}} - 1[/tex]
Tổng trong dấu () có dạng : [tex]1 + x + x^{2} + x^{3} + ... + x^{n} = \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1}[/tex]
Trong bài này, x = 1/2.
Thay vào, ta biến đổi một chút sẽ ra được [tex]U_{n}[/tex].
Ghi chú: Tổng [tex]U_{n}[/tex] có thể được kiểm tra lại trên Wolfram Alpha ở đây :
http://www.wolframalpha.com/ . Gõ vào ô tìm kiếm : sum(x/2^x)