Cấp Số Cộng Khá Hóc Búa!

[ngudiem111]

Bài 1) Cho dãy số [tex]u_{n}= m[/tex]
[tex]u_{n+1}= a.u_{n}+b[/tex]
Trong đó a,b,m là những hằng số
Tìm c sao cho [tex]v_{n}= u_{n}+c.u_{n+1}[/tex]
Là một cấp số cộng

Bài 2) Cho [tex]a_{n}[/tex] là một cấp số cộng[tex]a_{n}>0[/tex]

Chứng minh: [tex]\frac{1}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}+\sqrt{a_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n}}}=\frac{n-1}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n}}}[/tex]
Các bạn giúp mình với Nha!

[ngudiem111]

Anh Nguyễn Nguyễn Và Anh Trần Quỳnh giúp em đi! hu hu hu

[Colosseo]

Bài 2: Ở mỗi số hạng, bạn chỉ cần biến đổi để khử dấu căn ở mẫu số là sẽ được. Ví dụ:

[tex]\frac{1}{\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}}} = \frac{\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}}}{(\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}})*(\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}})}=\frac{\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}}}{a_{1} - a_{2}} = \frac{\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}}}{-d}[/tex]

Tương tự cho các số hạng khác. Sau đó lấy các phân số lúc này đã có cùng mẫu số là -d cộng với nhau.

Ghi chú : [tex]a_{n+1} = a_{n} + d[/tex]


Bài 1: Bạn có thể kiểm tra lại xem ở điều kiện đầu tiên : [tex]u_{n} = m[/tex] hay [tex]u_{1} = m[/tex] ?

[ngudiem111]

Bài 2: Ở mỗi số hạng, bạn chỉ cần biến đổi để khử dấu căn ở mẫu số là sẽ được. Ví dụ:

[tex]\frac{1}{\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}}} = \frac{\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}}}{(\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}})*(\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}})}=\frac{\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}}}{a_{1} - a_{2}} = \frac{\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}}}{-d}[/tex]

Tương tự cho các số hạng khác. Sau đó lấy các phân số lúc này đã có cùng mẫu số là -d cộng với nhau.

Ghi chú : [tex]a_{n+1} = a_{n} + d[/tex]


Bài 1: Bạn có thể kiểm tra lại xem ở điều kiện đầu tiên : [tex]u_{n} = m[/tex] hay [tex]u_{1} = m[/tex] ?

Em cảm ơn anh nha, bài 1 là u1 = m anh ạ
Anh xem anh giải cho em bài này nữa nhé
Tìm giới hạn của dãy số;
[tex]lim(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{3^{2}}+...+\frac{2n-1}{2^{n}})[/tex]

[Colosseo]

Bài số 1 để mình suy nghĩ lại. Bài tìm giới hạn kết quả là 3. Cách giải như sau:

Phân tích các số hạng ra thành hiệu của 2 phân số, cụ thể là : [tex]\frac{2n-1}{2^n}=\frac{n}{2^{n-1}} - \frac{1}{2^{n}}[/tex]. Vậy:

[tex]\frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}\\ \\ \frac{3}{2^{2}} = \frac{2}{2} - \frac{1}{4}\\ \\ \frac{5}{2^{3}} = \frac{3}{4} - \frac{1}{8}\\ \\ \frac{7}{2^{4}} = \frac{4}{8} - \frac{1}{16}\\ \\[/tex]

...

Phép tổng ban đầu trở thành:

[tex]S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \frac{5}{32} + ... + \frac{n-1}{2^{n-1}} + \frac{n}{2^{n}}[/tex]

Hay : [tex]S = 1 + U_{n}[/tex]

Với [tex]U_{n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \frac{5}{32} + ... + \frac{n-1}{2^{n-1}} + \frac{n}{2^{n}}[/tex]


[tex]U_{n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \frac{5}{32} + ... + \frac{n-1}{2^{n-1}} + \frac{n}{2^{n}} = \sum_{x=0}^{x=n}{\frac{x}{2^{x}}}[/tex]


Tổng [tex]U_{n}[/tex] có giá trị là : [tex]U_{n} = 2 - \frac{n}{2^{n}} - \frac{2}{2^{n}}[/tex]

Dễ thấy rằng [tex]U_{n}[/tex] sẽ có giá trị là 2 khi n tiến ra vô cùng. Vì vậy tổng ban đầu đã cho có giới hạn là 3.

PS : Cách chứng minh tổng [tex]U_{n}[/tex]

Chia [tex]U_{n}[/tex] cho 2, ta sẽ được:

[tex]\frac{U_{n}}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{4}{32} + ... + \frac{n-1}{2^{n}} + \frac{n}{2^{n+1}}[/tex]

Sau đó lấy [tex]U_{n}[/tex] ban đầu trừ cho [tex]\frac{U_{n}}{2}[/tex] ta sẽ thu được:

[tex]U_{n} - \frac{U_{n}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{n}} - \frac{n}{2^{n+1}}[/tex]

Hay:

[tex]\frac{U_{n}}{2} = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{n}}) - \frac{n}{2^{n+1}} - 1[/tex]

Tổng trong dấu () có dạng : [tex]1 + x + x^{2} + x^{3} + ... + x^{n} = \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1}[/tex]

Trong bài này, x = 1/2.

Thay vào, ta biến đổi một chút sẽ ra được  [tex]U_{n}[/tex].


Ghi chú: Tổng [tex]U_{n}[/tex] có thể được kiểm tra lại trên Wolfram Alpha ở đây : http://www.wolframalpha.com/ . Gõ vào ô tìm kiếm : sum(x/2^x)

[Colosseo]

Có lẽ nếu chúng ta lấy tổng ban đầu trừ cho chính nó chia 2 (tương tự cách tính U) thì bài toán sẽ giải gọn hơn. Bạn làm thử xem.

[ngudiem111]

Có lẽ nếu chúng ta lấy tổng ban đầu trừ cho chính nó chia 2 (tương tự cách tính U) thì bài toán sẽ giải gọn hơn. Bạn làm thử xem.

Bài này vậy mà phức tạp nhỉ
Em thử làm bài 1 ) anh xem được không!
ta có ; [tex]u_{n+1}= a.u_{n}+b[/tex]
Khi đó: [tex]v_{n}= u_{n}+c.u_{n+1}= u_{n}+c.(a.u_{n}+b)[/tex]
Ta xét :[tex]v_{n+1}-v_{n}= [u_{n+1}+c.(a.u_{n+1}+b)]-[u_{n}+c.(a.u_{n}+b)] =a.u_{n}+b+c.(a.(u_{n}+b)+b)-u_{n}-acu_{n}-cb[/tex]
[tex]=(a+cab-ac-1).u_{n}+b+cab[/tex]
Vì v(n) là cấp số cộng nên v(n+1) - v(n) là hằng số. Suy ra
a+cab-ac-1 = 0 [tex]\Rightarrow c = \frac{1-a}{a(b-1)}[/tex]
hì hì , em làm vậy anh đừng cười nha
Vì đáp số của em không liên quan gì đến m cả! Anh cho nhận xét

[Colosseo]

Bài 1: về cách giải quyết thì đúng rồi. Bài này ko liên quan đến m.

Trong quá trình bạn biến đổi có 1 chỗ sơ sót nên kết quả a, b, c không đúng. Bạn kiểm tra lại chỗ :

[tex]a.u_{n} + b + c.(a.(u_{n} + b) + b)[/tex]

Nó phải là : [tex]a.u_{n} + b + c.(a.(a.u_{n} + b) + b)[/tex]

Sau đó tính toán lại một chút, ta sẽ thấy hiệu cuối cùng là : [tex]u_{n}(a-1)(ac+1) + b(ac+1) = const[/tex]

Hằng số phải khác 0 (nếu không thì cấp số cộng sẽ có công sai là 0). Vậy a=1, b khác 0 và c khác -1.

[devil_fermat]

bài 1 là bài có dạng tổng quát rồi còn gì!
bây giờ thử với b kok phải là 1 hẳng số mà là một hàm biến thiên theo n thì sao nhỉ
VD:
Tìm CTTQ của dãy số với [tex]u_1=2[/tex]
a,[tex]u_n=2u_{n-1}+3n-1[/tex]
b,[tex]u_n=u_{n-1}+2n+1[/tex]
c,[tex]u_n=3u_{n-1}+2^n[/tex]