PHƯƠNG PHÁP BẤT BIẾN ĐOẠN NHIỆT

[nhocnhinho_1010]

Khi giải một bài toán Cơ học trong Vật Lý, nhiều khi chúng ta nhận thấy cần phải tìm cách tính xấp xỉ cho một tham số nào đó, nhất là các bài toán về dao động. Có rất nhiều cách lấy xấp xỉ, nhưng nếu chúng ta tìm được phương pháp lấy gần đúng hợp lý, chúng ta sẽ tiến gần hơn đến lời giải cho bài toán. Phương pháp bất biến đoạn nhiệt là phương pháp lượng hóa một đại lượng Vật Lý nào đó sang một mức độ gần đúng nhất định, khi có sự biến đổi nhỏ của bất kỳ tham số nào. Trong cơ học, chúng ta thường sử dụng phương pháp bất biến đoạn nhiệt trong các bài toán dao động để thu được những kết quả chính xác từ những bài toán vô cùng phức tạp.

Trong một cuộc thảo luận, Albert Einstein đã sử dụng ví dụ dưới đây để minh họa phương pháp bất biến đoạn nhiệt:
Bài toán 1: Một con lắc đơn được cấu tạo từ một sợi dây nhẹ chiều dài L gắn với một quả cầu nhỏ khối lượng M, dao động trong một mặt phẳng thẳng đứng. Tỉ số biên độ góc dao động nhỏ của con lắc thay đổi như thế nào khi sợi dây được từ từ rút ngắn xuống còn một nửa?
           --making by "Phan Văn Trung"--

 

Giả sử trong một chu kỳ, độ dài của sợi dây hầu như không thay đổi và biên độ dao động là một góc rất nhỏ, Einstein cho rằng lực căng dây sẽ có giá trị như sau:
 
Với θl là biên độ góc của dao động khi chiều dài của dây là l, <θ2> và <θ'2> là giá trị trung bình của θ và θ' trong một chu kỳ dao động.
Khi sợi dây được rút ngắn từ từ, công rút ngắn của dây chính bằng độ tăng năng lượng dao động của con lắc:
 
Do đó, khi chiều dài sợi dây bị rút ngắn còn một nữa, biên độ dao động sẽ tăng   lần.
Kết luận: Nhờ coi gần đúng độ lớn của lực căng dây, bài toán phức tạp trên đã được giải quyết vô cùng nhanh chóng và gọn gàng.
Bài toán 2:  2 vật A và B có khối lượng bằng nhau M được nối với nhau bởi một sợi dây nhẹ, không giãn. Sợi dây được vắt qua 2 ròng rọng nhỏ khối lượng không đáng kể. Ban đầu các vật cách ròng rọc một khoảng là l. Kích thích cho vật A dao động với biên độ góc nhỏ ε. Hãy tính vận tốc của vật B khi nó va chạm với ròng rọc?

 
Kích thích cho vật A dao động với biên độ góc nhỏ, vì quá trình trên diễn ra rất chậm, khi khoảng cách từ A tới ròng rọc là r, ta có thể coi phương trình dao động của A là  , với εr là biên độ góc dao động.
Áp dụng định luật bào toàn năng lượng khi θ=0:
 
Từ đó ta có thể thu được vận tốc của B khi nó chạm vào ròng rọc:
 
Kết luận: Bài toán này mấu chốt ở chỗ tìm được cách làm gần đúng các biểu thức tính năng lượng của hệ. Nếu không sử dụng phương pháp bất biến đoạn nhiệt, bài toán sẽ rất dài và cần đến những phương pháp toán học phức tạp ngoài chương trình THPT.
Bài toán 3: Một con lắc được cấu tạo từ một thanh cứng chiều dài L, khối lượng M, và một con bọ nhỏ có khối lượng m=M/3 có thể di chuyển trên thanh. Thanh dao động trong một mặt phẳng thẳng đứng. Ban đầu con bọ ở ngay cạnh chốt quay, nó bắt đầu bò từ từ xuống dưới. Khi con bọ bò xuống cuối thanh, năng lượng dao động của hệ thay đổi như thế nào so với thời điểm đầu tiên?  

 
Ta có phương trình quay của hệ quanh chốt khi con bọ đã bò được đoạn l:
 
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
 
Với F là lực mà con bọ tác dụng lên thanh để giữ cho nó hầu như đứng yên. Lấy xấp xỉ:
 
Từ đó ta thu được phương trình:
 
Khi l=L,  
Kết luận: Bài toán này sử dụng linh hoạt sự biến đổi của phương pháp bất biến đoạn nhiệt để đưa về các biến khác nhau, cuối cùng dẫn tới kết quả cần quan tâm.