Alexman113
Lão làng
Nhận xét: +26/-9
Cảm ơn
-Đã cảm ơn: 229
-Được cảm ơn: 270
Offline
Bài viết: 551
KK09XI
|
|
« Trả lời #2 vào lúc: 11:53:36 am Ngày 07 Tháng Sáu, 2014 » |
|
Câu 2: Trong không gian cho 2 đường thẳng: [tex](d_1): \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}[/tex] và [tex](d_2):\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-2}.[/tex] Biết 2 đường thẳng [tex](d_1),\,(d_2)[/tex] cắt nhau tại [tex]I.[/tex] Gọi [tex]A,\,B[/tex] lần lượt nằm trên [tex](d_1),\,(d_2)[/tex] sao cho [tex]\Delta ABI[/tex] vuông tại [tex]A[/tex] và có [tex]S_{ABI}=18\sqrt{5}[/tex]. Tìm tọa độ điểm [tex]A.[/tex] Ta có: [tex](d_1):\begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1+2t\end{cases};\,\,\,(d_2):\begin{cases}x=t'\\y=-1+2t'\\z=3-2t'\end{cases}[/tex] Vì [tex]I=(d_1)\cap (d_2)[/tex] nên tọa độ điểm [tex]I[/tex] thỏa của hệ: [tex]\begin{cases}1+t=t'\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\1+2t=-1+2t'\,(2)\\1+2t=3-2t'\,\,\,\,\,\,(3)\end{cases}[/tex] Từ [tex](1);\,(3)\Rightarrow \begin{cases}t-t'=-1\\t+t'=1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}t=0\\t'=1\end{cases}[/tex] thay vào [tex](2)[/tex] thấy thỏa mãn, suy ra [tex]I\left(1;\,1;\,1\right)[/tex] Gọi [tex]A\left(1+a;\,1+2a;\,1+2a\right)\in(d_1);\,B\left(b;\,-1+2b;\,3-2b\right)\in(d_2)[/tex] Ta có: [tex]\overrightarrow{AB}=\left(b-a-1;\,2b-2a-2;\,-2b-2a+2\right);\,\,\,\,\overrightarrow{AI}=\left(-a;\,-2a;\,-2a\right)[/tex] Vì [tex]\Delta ABI[/tex] vuông tại [tex]A[/tex] nên: [tex]\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AI}=0\Leftrightarrow 9a^2-a\left(b-1\right)=0\,\,(\bullet)[/tex] Đến đây sai lầm nhiều người hầu hết mắc phải đấy là "bị gài vào bẫy", cái cảm tính trong Toán, thói quen nhiều lúc luôn dẫn con người ta đi vào một lối mòn nào đó nhưng khổ nỗi đó lại là ĐƯỜNG CÙNG! Ta luôn tính diện tích [tex]\Delta ABI[/tex] vuông tại [tex]I[/tex] bằng công thức [tex]S_{ABI}=\dfrac{1}{2}AB\times AI[/tex] nhưng để ý một chút thì tọa độ [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] có vẻ quá phức tạp, sẽ rất lằng nhằng khi chuyển về độ dài rồi lắp vào công thức để giải, khi ấy CHƯA ĐI CŨNG ĐÃ THẤY MỆT. Vậy ta sẽ phải tìm con đường khác để đi, một con đường có vẻ sáng sủa hơn khi lại thấy tọa độ [tex]I[/tex] rất đẹp tạm gọi là "GIÀU", hai thằng [tex]A,\,B[/tex] vẫn còn là hai ẩn sổ tạm gọi là "NGHÈO". Một điều thú vị rằng muốn GIÀU phải đi với thằng GIÀU, chứ NGHÈO mà lại gặp NGHÈO thì NGHÈO kiếp xác à? Lấy tư tưởng ấy hãy cho hai thằng NGHÈO đi cùng thằng GIÀU ta sẽ không còn phải bế tắc trong cái NGHÈO nữa. Ta có: [tex]\overrightarrow{BI}=\left(1-b;\,2-2b;\,-2+2b\right)\Rightarrow BI=3\left(b-1\right)[/tex] Gọi [tex]\overrightarrow{u}=\left(1;\,2;\,-2\right)[/tex] là vectơ chỉ phương của [tex]d_2[/tex] [tex]\left|\left[\overrightarrow{AI};\,\overrightarrow{u}\right]\right|=4a\sqrt{5};\,\,\left|\overrightarrow{u}\right|=3.[/tex] Ta có: [tex]d_{\left(A;\,(d_2)\right)}=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{AI};\,\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\dfrac{4a\sqrt{5}}{3}[/tex] [tex]S_{ABI}=\dfrac{1}{2}d_{\left(A;\,(d_2)\right)}\times BI=2\sqrt{5}a\left(b-1\right)[/tex] Mà [tex]S_{ABI}=18\sqrt{5}\Rightarrow a\left(b-1\right)=9\,(\bullet \bullet)[/tex] Từ [tex](\bullet)[/tex] và [tex](\bullet \bullet)\Rightarrow \left[\begin{array}{l}a=1\,\,\left(\text{nhan}\right)\\a=-1\,\,\left(\text{loai}\right)\end{array}\right.[/tex] Vậy: [tex]A\left(2;\,3;\,3\right).[/tex] Lưu ý: trong bài đã sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng bất kì trong không gian. Trong không gian [tex]Oxyz[/tex] cho [tex]M[/tex] và [tex]\left(\Delta\right).[/tex] Để tính khoảng cách từ [tex]M[/tex] đến [tex]\left(\Delta\right)[/tex] ta lấy [tex]M'\in\left(\Delta\right),[/tex] tính vectơ chỉ phương [tex]\overrightarrow{u}[/tex] của [tex]\left(\Delta\right)[/tex] rồi áp dụng công thức: [tex]\boxed{d_{\left(M;\,\left(\Delta\right)\right)}=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{MM'};\,\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}}[/tex]
|