Giai Nobel 2012
08:02:06 am Ngày 24 Tháng Ba, 2024 *
Diễn đàn đã ngưng hoạt động và vào chế độ lưu trữ.
Mời tham gia và trao đổi trên nhóm Facebook >> TẠI ĐÂY <<
  Trang chủ Diễn đàn  


Quy định cần thiết


Diễn đàn đã ngưng hoạt động và vào chế độ lưu trữ. Mời tham gia và trao đổi trên nhóm Facebook >> TẠI ĐÂY <<

Trả lời

Bất đẳng thức khó

Trang: 1   Xuống
  In  
Tác giả Chủ đề: Bất đẳng thức khó  (Đọc 1466 lần)
0 Thành viên và 0 Khách đang xem chủ đề.
Trần Anh Tuấn
Giáo viên Vật lý
Lão làng
*****

Nhận xét: +42/-16
Cảm ơn
-Đã cảm ơn: 217
-Được cảm ơn: 367

Offline Offline

Giới tính: Nam
Bài viết: 709


Chú Mèo Đi Hia

tuan_trananh1997@yahoo.com
Email
« vào lúc: 11:37:01 pm Ngày 11 Tháng Giêng, 2013 »

Cho [tex]a,\,b,\,c>0[/tex] .Chứng minh rằng :
1) [tex]\dfrac{a^4+b^4+c^4}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{a+b+c}\geq \dfrac{2}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)[/tex]

2) [tex]ab+bc+ca<\sqrt[3]{abc}\left(a+b+c\right)[/tex]
EM xin chân thành cảm ơn !!!!!!!!
Nhờ mọi người giúp đỡ em hai bài bất đẳng thức này với.

« Sửa lần cuối: 11:30:08 pm Ngày 12 Tháng Giêng, 2013 gửi bởi Alexman113 »

Logged



Tận cùng của tình yêu là thù hận
Sâu thẳm trong thù hận là tình yêu
Alexman113
Lão làng
*****

Nhận xét: +26/-9
Cảm ơn
-Đã cảm ơn: 229
-Được cảm ơn: 270

Offline Offline

Bài viết: 551


KK09XI


Email
« Trả lời #1 vào lúc: 04:22:42 pm Ngày 14 Tháng Giêng, 2013 »

Cho [tex]a,\,b,\,c>0[/tex] .Chứng minh rằng :
2) [tex]ab+bc+ca<\sqrt[3]{abc}\left(a+b+c\right)[/tex]
Bạn xem lại đề nhé, bất đẳng thức này sai rồi!!! Thế [tex]a=b=1;\,c=\dfrac{1}{4}[/tex] sẽ thấy ngay.


Logged

KK09XI ~ Nothing fails like succcess ~
Alexman113
Lão làng
*****

Nhận xét: +26/-9
Cảm ơn
-Đã cảm ơn: 229
-Được cảm ơn: 270

Offline Offline

Bài viết: 551


KK09XI


Email
« Trả lời #2 vào lúc: 04:33:13 pm Ngày 14 Tháng Giêng, 2013 »

Cho [tex]a,\,b,\,c>0[/tex] .Chứng minh rằng :
1) [tex]\dfrac{a^4+b^4+c^4}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{a+b+c}\geq \dfrac{2}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)[/tex]
Giải:
Theo Bất đẳng thức [tex]Schur[/tex] bậc 1 ta có:
     
      [tex]a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3abc\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \dfrac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{a+b+c}+\dfrac{3abc}{a+b+c}\ge a^2+b^2+c^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \dfrac{4\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3\left(a+b+c\right)}+\dfrac{2abc}{a+b+c}\ge \dfrac{2}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)[/tex]              [tex]\left(1\right)[/tex]

Theo Bất đẳng thức [tex]Schur[/tex] bậc 2 ta có:
     
      [tex]a^4+b^4+c^4+abc\left(a+b+c\right)\ge a^3\left(b+c\right)+b^3\left(c+a\right)+c^3\left(a+b\right)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2\left(a^4+b^4+c^4\right)+abc\left(a+b+c\right)\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \dfrac{2\left(a^4+b^4+c^4\right)}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{abc}{a+b+c}\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}[/tex]                             [tex]\left(2\right)[/tex]
 
   Từ [tex]\left(1\right)[/tex] và [tex]\left(2\right)[/tex] ta có: [tex]\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3\left(a+b+c\right)}+\dfrac{3abc}{a+b+c}+\dfrac{2\left(a^4+b^4+c^4\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\ge \dfrac{2}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)[/tex]        [tex]\left(3\right)[/tex]
Mà ta có:
     [tex]\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\le3\left(a^4+b^4+c^4\right)[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3\left(a+b+c\right)}\le\dfrac{a^4+b^4+c^4}{\left(a+b+c\right)^2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3\left(a+b+c\right)}+\dfrac{2\left(a^4+b^4+c^4\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\le\dfrac{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\le\dfrac{a^4+b^4+c^4}{ab+bc+ca}[/tex]                 [tex]\left(4\right)[/tex]
Từ [tex]\left(3\right)[/tex] và [tex]\left(4\right)[/tex] ta có đpcm.            [tex]\blacksquare[/tex]


Logged

KK09XI ~ Nothing fails like succcess ~
Tags:
Trang: 1   Lên
  In  


Những bài viết mới nhất
Những bài viết mới nhất
 
Chuyển tới:  

© 2006 - 2012 Thư Viện Vật Lý.
Cache action__board_0_topic_13588_u__tags_0_start_msg57846