Với những bài toán loại này, ta nên tránh biến đổi trực tiếp vì việc biến đổi rất có thể dẫn đến các phương trình bậc cao không thể giải được. Ta sẽ lý luận để giới hạn lại vùng có thể có nghiệm và để tìm các nghiệm đặc biệt (ví dụ 0).
Các hệ phương trình đối xứng sẽ có ít nhất một hoặc vài nghiệm ứng với trường hợp các biến bằng nhau (do tính đối xứng).
Mình sẽ hướng dẫn giải bài b trước.
Câu b.* Trước tiên, ta nhận xét rằng hệ có 1 nghiệm x = y = z = 0.
Với x, y, z khác 0* Với hệ đã cho x, y, z phải dương.
* Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi???) cho các mẫu số trong từng phương trình. Ví dụ đối với phương trình thứ nhất, ta sẽ có :
[tex]1 + 4x^{2}\geq 2\sqrt{1 * 4x^{2}}[/tex]
Hay : [tex]1 + 4x^{2}\geq 4x[/tex] (rút x^2 ra khỏi dấu căn là x vì x dương).
Vậy : [tex]y\leq \frac{4x^{2}}{4x}[/tex]
Hay : [tex]y\leq x[/tex]
Tương tự từ 2 phương trình còn lại ta sẽ có : [tex]z\leq y[/tex] và [tex]x\leq z[/tex]
Suy ra x = y = z (khác 0).
Chọn 1 trong 3 phương trình bất kỳ để giải tìm thêm nghiệm.
Câu a.Trước hết nhận xét rằng hệ có nghiệm x=y=z --> giải tìm các nghiệm này trước.
Khi x khác y khác z Nhận xét rằng x, y, z phải lớn -1.
Lấy pt 1 trừ pt 2 vế theo vế. Khai triển x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)
Tương tự, lấy pt 2 trừ pt 3 vế theo vế; lấy pt 3 trừ pt 1 vế theo vế. Nhân các phương trình mới lại với nhau, rút gọn, ta sẽ thu được pt sau:
[tex](x+y)(y+z)(z+x)=1[/tex]
Ta sẽ chứng minh rằng (CMR) phương trình này không có nghiệm.
*
CMR nếu hệ pt đã cho có nghiệm thì các nghiệm phải nhỏ hơn 1.Thật vậy, giả sử [tex]x\geq 1[/tex]. Từ pt thứ 3, ta suy ra [tex]z\geq 1[/tex]. Theo đó [tex]y\geq 1[/tex] (pt 2).
Lúc này, x, y, z đều lớn hơn hoặc bằng 1, pt
sẽ không còn đúng nữa (vế trái >= 8).
*
CMR các nghiệm của hệ pt đã cho không thể nhỏ hơn 1.Thật vậy, giả sử x nhỏ hơn 1. Khi đó từ pt 1 ta suy ra [tex]-1< y < 0[/tex]. Suy ra [tex]y^2<1[/tex] . Từ pt 2 suy ra [tex]-1< z < 0[/tex]. Tương tự, từ pt 3 suy ra [tex]-1<x < 0[/tex].
Khi này pt
không còn thỏa mãn vì vế trái nhỏ hơn 0 (tích của 3 số âm).
Vậy tóm lại, hệ pt không có nghiệm khi x khác y khác z.
Xem các bài viết
Tính lự tác dụng lên giá đỡ tại hai đầu mút ở thời điểm t = [tex]\frac{\pi }{60}[/tex] .