Diễn Đàn Vật Lý | Thư Viện Vật Lý

Mọi người giải giúp em mấy bài này nha.
1. Chứng minh. Nếu [tex]\begin{vmatrix} z1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} z2 \end{vmatrix} =1[/tex]
[tex]và z1.z2 \neq 0 thì \frac{z1 + z2}{1 + z1.z2}[/tex] là một số thực.

2. cho z1, z2 thuộc C: [tex]\begin{vmatrix} z1 + z2 \end{vmatrix} = \sqrt{3} và \begin{vmatrix} z1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} z2 \end{vmatrix} = 1 Tính \begin{vmatrix} z1 - z2 \end{vmatrix}[/tex]

3. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện [tex]\begin{vmatrix} z - (4+2i) \end{vmatrix} = \sqrt{5}[/tex]
Tìm số phức z có modun nhỏ nhất.

Gọi [tex]z=a+bi,a;b\in R[/tex]
[tex]\Rightarrow \left(a-4 \right)^{2}+\left(b-2 \right)^{2}=5[/tex]
Đặt [tex]a-4=\sqrt{5}cosx,b-2=\sqrt{5}sinx[/tex]
[tex]\left|z \right|^{2}=a^{2}+b^{2}=\left(\sqrt{5}cosx+4 \right)^{2}+\left(\sqrt{5}sinx+2 \right)^{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \left|z \right|^{2}=25+8\sqrt{5}cosx+4\sqrt{5}sinx\geq 25-20=5[/tex]
[tex]\Rightarrow \left|z \right|_{min}=\sqrt{5}[/tex]
Dấu = bạn tự tìm nha

Bạn asenal ơi, yêu cầu bài toán là tìm số phức z có modun nhỏ nhất, câu trả lời của bạn vẫn chưa hợp lý lắm. Người ta đâu có hỏi modun nhỏ nhất là bao nhiêu đâu.

Cho phương trình [tex]x^{3}+ 8 = 0[/tex] có các nghiệm phức z1, z2, z3. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểi diễn số phức z1, z2, z3. Chứng minh . tam giác là tam giác đều.

T/b: Bài này thoạt nhìn vào phương trình thì ta có thể biết được có ba nghiệm bằng nhau rồi, nhưng khi làm 1 bài toán thì phải trình bày sao cho đúng, mình không biết phải trình bày sao cho hợp lý. Các bạn góp ý giúp mình nha.

Thì bạn tự tính dấu = đó, dễ mà

Câu này bạn tính ra ba nghiệm rồi biểu diễn chúng dưới dạng toạ độ 3 điểm sau đó tính khoảng cách từng cạnh là ok

Gọi [tex]z_{1}=a+bi,z_{2}=c+di ,a,b,c,d\in R[/tex]
[tex]\Rightarrow \left(a+c \right)^{2}+\left(b+d \right)^{2}=3[/tex]
[tex]a^{2}+b^{2}=1,c^{2}+d^{2}=1[/tex]
[tex]\Rightarrow 2ac+2bd=1[/tex]
Mà [tex]\left|z_{1}-z_{2} \right|=\sqrt{\left(a-c \right)^{2}+\left(b-d \right)^{2}}\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-\left(2ac+2bd \right)}=1[/tex]

Từ module của nó bằng 5 em tính ra các giá trị thực và ảo rồi suy ngược lại ra z.

Bài này có ai có cách giải khác ko.

Giả sử [tex]z=a+bi, a,b \in \mathbb{R}[/tex]
Đặt [tex]z_1=a-4+(b-2)i, z_2=4+2i, a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow z=z_1+z_2[/tex]
Từ giả thiết: [tex]\left | z_1 \right | = \sqrt{(a-4)^2+(b-2)^2}=\sqrt{5}, \left | z_2 \right | = 2\sqrt{5}[/tex]
Mặt khác theo bất đẳng thức Modun ta có:
[tex]\left | z_1 \right | +\left | -z \right | \ge \left | z_1-z \right | = \left | -z_2 \right | = 2\sqrt{5} \Rightarrow \left | z \right | \ge 2\sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}[/tex]
Đẳng thức xảy ra kvck [tex]\frac{a-4}{-a}=\frac{b-2}{-b} \wedge \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5} \Leftrightarrow a=2, b=1 \Leftrightarrow z= 2+i[/tex]