Diễn Đàn Vật Lý | Thư Viện Vật Lý

CÁC KHOA HỌC KHÁC => TOÁN HỌC => Tác giả chủ đề:: ngudiem111 trong 07:39:23 PM Ngày 16 Tháng Tư, 2011

Đọc bản đầy đủ ở đây: http://thuvienvatly.com/forums/index.php?topic=4781



Tiêu đề: Anh Trần Quỳnh ! Giúp Em !Tích Phân Trong Vật Lí
Gửi bởi: ngudiem111 trong 07:39:23 PM Ngày 16 Tháng Tư, 2011
Hãy Tính :[tex]\int_{0}^{\varpi }{\frac{x^{3}}{e^{x}+1}}dx[/tex]
Cận từ 0 đến vô cùng
Mọi người giúp em !


Tiêu đề: Trả lời: Anh Trần Quỳnh ! Giúp Em !Tích Phân Trong Vật Lí
Gửi bởi: Colosseo trong 08:34:26 PM Ngày 16 Tháng Tư, 2011
Em xem lại ở dưới mẫu là "+ 1" hay "- 1"?


Tiêu đề: Trả lời: Anh Trần Quỳnh ! Giúp Em !Tích Phân Trong Vật Lí
Gửi bởi: ngudiem111 trong 05:39:49 AM Ngày 17 Tháng Tư, 2011
Em xem lại ở dưới mẫu là "+ 1" hay "- 1"?
Anh nói hướng giải nếu nó là " -1" cho em !
Em cảm ơn anh !















Tiêu đề: Trả lời: Anh Trần Quỳnh ! Giúp Em !Tích Phân Trong Vật Lí
Gửi bởi: Colosseo trong 09:19:18 AM Ngày 17 Tháng Tư, 2011
Tích phân này xuất hiện trong định luật Stefan-Boltzmann khi khảo sát bức xạ của vật đen. Tích phân này phức tạp đó! Anh thật sự không nhớ cách làm mà chỉ tham khảo từ các sách toán. Đáp án của nó là  [tex]\frac{\pi ^{4}}{15}[/tex].

Các bước tính như sau:

1. Biến đổi :

[tex]\frac{1}{e^{x} - 1} = \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}}=\sum_{n=1}^{inf}{e^{-nx}}[/tex]

2. Tích phân đã cho sẽ trở thành:

[tex]TP = \sum_{n=1}^{inf}{{\int_{0}^{inf}{x^{3}e^{-nx}}}}dx[/tex]

Ở trên inf nghĩa là vô cùng.

3. Khoan quan tâm đến tổng. Tính tích phân [tex]{\int_{0}^{inf}{x^{3}e^{-nx}}dx[/tex] theo phương pháp từng phần. Khi tính, đặt biến thích hợp để giảm mũ x^3 xuống còn x^2, x^1,... Phải thực hiện tích phần từng phần vài lần. Dựa trên điều kiện tích phân tính từ 0 đến vô cùng mà một số hạng tử kết quả của tính tích phân từng phần sẽ bằng 0.

Cuối cùng, sẽ thu được kết quả : [tex]{\int_{0}^{inf}{x^{3}e^{-nx}}dx = \frac{6}{n^{4}}[/tex]

4. Vậy tích phân ban đầu trở thành:

[tex]TP = 6\sum_{n=1}^{inf}{\frac{1}{n^4}}[/tex]

5. Tổng theo n ở trên chính là hàm Riemann zeta* [tex]\zeta (4)[/tex], có giá trị là [tex]\frac{\pi ^{4}}{90}[/tex].

6. Giá trị của tích phân đã cho là [tex]\frac{\pi ^{4}}{15}[/tex].

( * ) Hàm Riemann zeta : http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function

PS: Trong các sách VL, có thể họ chỉ đưa ra đáp án mà không chứng minh, vì tích phân này khá đặc biệt.


Tiêu đề: Trả lời: Anh Trần Quỳnh ! Giúp Em !Tích Phân Trong Vật Lí
Gửi bởi: ngudiem111 trong 09:44:41 AM Ngày 17 Tháng Tư, 2011
Tích phân này xuất hiện trong định luật Stefan-Boltzmann khi khảo sát bức xạ của vật đen. Tích phân này phức tạp đó! Anh thật sự không nhớ cách làm mà chỉ tham khảo từ các sách toán. Đáp án của nó là  [tex]\frac{\pi ^{4}}{15}[/tex].

Các bước tính như sau:

1. Biến đổi :

[tex]\frac{1}{e^{x} - 1} = \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}}=\sum_{n=1}^{inf}{e^{-nx}}[/tex]

2. Tích phân đã cho sẽ trở thành:

[tex]TP = \sum_{n=1}^{inf}{{\int_{0}^{inf}{x^{3}e^{-nx}}}}dx[/tex]

Ở trên inf nghĩa là vô cùng.

3. Khoan quan tâm đến tổng. Tính tích phân [tex]{\int_{0}^{inf}{x^{3}e^{-nx}}dx[/tex] theo phương pháp từng phần. Khi tính, đặt biến thích hợp để giảm mũ x^3 xuống còn x^2, x^1,... Phải thực hiện tích phần từng phần vài lần. Dựa trên điều kiện tích phân tính từ 0 đến vô cùng mà một số hạng tử kết quả của tính tích phân từng phần sẽ bằng 0.

Cuối cùng, sẽ thu được kết quả : [tex]{\int_{0}^{inf}{x^{3}e^{-nx}}dx = \frac{6}{n^{4}}[/tex]

4. Vậy tích phân ban đầu trở thành:

[tex]TP = 6\sum_{n=1}^{inf}{\frac{1}{n^4}}[/tex]

5. Tổng theo n ở trên chính là hàm Riemann zeta* [tex]\zeta (4)[/tex], có giá trị là [tex]\frac{\pi ^{4}}{90}[/tex].

6. Giá trị của tích phân đã cho là [tex]\frac{\pi ^{4}}{15}[/tex].

( * ) Hàm Riemann zeta : http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function

PS: Trong các sách VL, có thể họ chỉ đưa ra đáp án mà không chứng minh, vì tích phân này khá đặc biệt.

Sao Anh Giỏi Thế ! Anh Là Người Nước Ngoài Hay Sao ?


Tiêu đề: Trả lời: Anh Trần Quỳnh ! Giúp Em !Tích Phân Trong Vật Lí
Gửi bởi: Colosseo trong 08:26:53 PM Ngày 17 Tháng Tư, 2011
Anh là người VN chứ. Mấy cái này đã có học qua rồi nên nhớ chút chút.


Tiêu đề: Trả lời: Anh Trần Quỳnh ! Giúp Em !Tích Phân Trong Vật Lí
Gửi bởi: Nguyễn Nguyễn trong 08:29:16 PM Ngày 17 Tháng Tư, 2011
Sao cứ nghĩ là ngừoi nứoc ngoài mới giỏi hả trời?


Tiêu đề: Trả lời: Anh Trần Quỳnh ! Giúp Em !Tích Phân Trong Vật Lí
Gửi bởi: ngudiem111 trong 09:41:13 PM Ngày 20 Tháng Tư, 2011
Sao cứ nghĩ là ngừoi nứoc ngoài mới giỏi hả trời?
vậy chắc chắn anh trần Quỳnh đang ở nước ngoài !
em thoáng nghĩ như thế ! Em có đọc một số tác phẩm viết về người Anh , mỹ,...
Ở đó Họ có cách làm việc rất nghiêm túc, khoa học !
Không hiểu sao mỗi lần nghĩ về Anh Tran Quynh em lại thấy nét hao hao như vậy !
Hì Hì
À Anh nói giúp em bài Tích phân này làm sao nha
Tìm [tex]\int e^{x^{2}}dx[/tex]


Tiêu đề: Trả lời: Anh Trần Quỳnh ! Giúp Em !Tích Phân Trong Vật Lí
Gửi bởi: Colosseo trong 08:43:49 AM Ngày 21 Tháng Tư, 2011
Em đang học môn gì mà tính tích phân khó quá vậy? Tích phân vừa cho không thể tính ra theo các hàm cơ bản được. Nếu có dấu '-' ở chỗ mũ x bình phương thì tích phân sẽ dễ hơn nhiều. Anh nghĩ sao ở cấp bậc đại học mà lại có những thứ khó như vậy?


Tiêu đề: Trả lời: Anh Trần Quỳnh ! Giúp Em !Tích Phân Trong Vật Lí
Gửi bởi: Colosseo trong 08:56:37 AM Ngày 21 Tháng Tư, 2011
Em đang học môn gì mà tính tích phân khó quá vậy? Tích phân vừa cho không thể tính ra theo các hàm cơ bản được. Nếu có dấu '-' ở chỗ mũ x bình phương thì tích phân sẽ dễ hơn nhiều. Anh nghĩ sao ở cấp bậc đại học mà lại có những thứ khó như vậy?


Xin đính chính lại: có dấu '-' hay không cũng vậy. Tích phân loại này không tính ra được theo các hàm cơ bản.


Tiêu đề: Trả lời: Anh Trần Quỳnh ! Giúp Em !Tích Phân Trong Vật Lí
Gửi bởi: Colosseo trong 09:45:05 AM Ngày 21 Tháng Tư, 2011
1. Ở đây ta sẽ xét trước bài toán [tex]\int {e^{-x^{2}}}dx[/tex] :

Bài này nếu như có cận là 0, vô cùng hoặc  -vô cùng thì có thể giải bằng cách đổi biến sang tọa độ cực rồi dùng tích phân 2 lớp. Từ đó có thể thu được kết quả là những hàm đơn giản (pi). Nếu như cận không xác định (bất kỳ) thì chỉ có thể giải bằng cách sau: Dùng khai triển Taylor.

Khai triển Taylor của hàm mũ [tex]{e^{x}}[/tex] là:

[tex]e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{5}}{120}+...+\frac{x^{n}}{n!}[/tex]

Áp dụng cho [tex]{e^{-x^{2}}}[/tex], ta có:

[tex]e^{-x^{2}} = 1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{8}}{24} - \frac{x^{10}}{120}+...[/tex]

Từ đó, dễ dàng tính được tích phân đã cho:

[tex]TP = 1 - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{10} - \frac{x^{7}}{42} + \frac{x^{9}}{216} - \frac{x^{11}}{1320}+...[/tex]

Để cho thuận tiện, người ta định nghĩa hàm lỗi (erf(x) : error function) như sau:

[tex]erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} * [1 - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{10} - \frac{x^{7}}{42} + \frac{x^{9}}{216} - \frac{x^{11}}{1320}+...][/tex]

Từ đó:

                         [tex]\int {e^{-x^{2}}}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} * erf(x)[/tex]

Trường hợp đặc biệt của erf(x) : erf(- vô cùng) = -1; erf(0) =0; erf(vô cùng) = 1. Cho nên nếu có cận 0 hoặc +/- vô cùng thì ta có thể tính được tính phân trên qua pi.

Nếu như là cận bất kỳ thì ta có thể tham khảo giá trị tương ứng của hàm erf(x) trong các tài liệu về toán.

2. Bây giờ ta sẽ xét bài toán [tex]\int {e^{x^{2}}}dx[/tex] :


Ở đây cần phải dùng đến số phức i  (i^2 = -1). Biến đổi tích phân trên như sau:

 [tex]\int {e^{x^{2}}}dx[/tex] =  [tex]\int -i{e^{-(ix)^{2}}}d(ix)[/tex] = [tex]-i*\frac{\sqrt{\pi}}{2} * erf(ix)[/tex]

Hàm erf mà lấy giá trị biến là ảo thì không biết phải tính như thế nào (?!).

------------------
Tham khảo thêm ở đây:

Khai triển Taylor : http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function (xem mục Formal definition)
Hàm erf: http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function


Tiêu đề: Trả lời: Anh Trần Quỳnh ! Giúp Em !Tích Phân Trong Vật Lí
Gửi bởi: Trami trong 10:28:45 AM Ngày 21 Tháng Tư, 2011

Tìm [tex]\int e^{x^{2}}dx[/tex]


Cái này ko phải tích phân trong vật lý, nếu trong vật lý phải có dấu trừ trên mũ. Đơn giản hầu hết các giá trị vật lý đều hữu hạn, tiến đến 0 ở vô cùng. Mình học 4 năm vật lý, giờ đang học cao học Toán Lý (VLLT và VLT), cũng chưa dùng đến tích phân như thế bao giờ. Cũng ko biết cái đó nó dùng trong việc gì?


Tiêu đề: Trả lời: Anh Trần Quỳnh ! Giúp Em !Tích Phân Trong Vật Lí
Gửi bởi: Colosseo trong 12:59:05 PM Ngày 21 Tháng Tư, 2011
Không nhất thiết tích phân trên phải lấy cận ở vô cùng. Và nếu lấy cận hữu hạn thì giá trị tích phân sẽ hữu hạn.

Tích phân này có liên quan đến hàm Dawson hay tích phân Dawson. Nó cũng có ứng dụng trong một số hiện tượng vật lý đấy.


Tiêu đề: Trả lời: Anh Trần Quỳnh ! Giúp Em !Tích Phân Trong Vật Lí
Gửi bởi: ngudiem111 trong 10:26:19 PM Ngày 21 Tháng Tư, 2011
Không nhất thiết tích phân trên phải lấy cận ở vô cùng. Và nếu lấy cận hữu hạn thì giá trị tích phân sẽ hữu hạn.

Tích phân này có liên quan đến hàm Dawson hay tích phân Dawson. Nó cũng có ứng dụng trong một số hiện tượng vật lý đấy.
Em cảm ơn anh !
Em thử đặt [tex]t=e^{x^{2}}\Rightarrow dt = 2x.e^{x^{2}}dx=2x.tdx =2\sqrt{lnt}.tdx[/tex]
Vậy chắc có vẻ đơn giản hơn không anh ?
Em chỉ làm sơ cấp đến đó ! Và tích phân còn lại em tính chưa ra !


Tiêu đề: Trả lời: Anh Trần Quỳnh ! Giúp Em !Tích Phân Trong Vật Lí
Gửi bởi: Colosseo trong 09:10:19 PM Ngày 22 Tháng Tư, 2011
Như đã nói ở trên tích phân này không tính ra được nên cho dù có đổi biến thế nào thì vẫn vậy thôi. Trong toán học cao cấp, người ta dùng hàm erf(x) để định nghĩa tích phân này; giống như sin(x), cos(x) vậy đó, chúng ta không cần biến đổi thêm nữa. Khi biết x thì giá trị của sin(x), cos(x) có thể được tra cứu (dùng máy tính). Hàm erf(x) cũng vậy, nếu biết x thì chỉ cần tra cứu hoặc tính gần đúng để ra được giá trị của hàm.