Diễn Đàn Vật Lý | Thư Viện Vật Lý

1 con lắc lò xo thẳng đứng, đĩa M đặt trên lò xo. Ngay trên lò một sợi dây khối lượng m chiều dài l. Giữ cho dây thẳng đứng rồi thả ra. Va chạm là va chạm mềm. Tìm biểu thức v của hệ sau va chạm

Bài này là dạng toán đặc trưng về hệ có khối lượng thay đổi. Chọn gốc tọa độ tại M, chiều dương hướng lên.
Chia dây thành những phần tử rất nhỏ khối lượng [tex]dm=\frac{m}{L}dy[/tex]
Trước tiên ta tính lực tại thời điểm t lúc phần tử thứ [tex]dm_i[/tex] đập vào M, lực này gồm 2 phần:
- Phần thứ nhất là trọng lượng phần nằm đã rơi và trong lực của M
- Phần thứ hai là do sự biến thiên động lượng của mắc xích dm
[tex]F_i=F_1+F_2=Mg+\frac{m}{L}yg+\frac{dp}{dt}=Mg+\frac{m}{L}yg+v\frac{dm}{dt}=Mg+\frac{m}{L}yg+\sqrt{2gy}\frac{mdy}{Ldt}=Mg+\frac{m}{L}yg+2gy\frac{m}{L}=Mg+\frac{3mgy}{L}=Mg+\frac{3mg^2t^2}{2L}[/tex]
Gia tốc của hệ tại thời điểm t:
[tex]a=\frac{F_i}{m_i}=\frac{\dfrac{2ML}{mg}+3t^2}{\dfrac{2ML}{mg}+t^2}g=\frac{dv}{dt}[/tex]
Suy ra:
[tex]dv=\frac{\dfrac{2ML}{mg}+3t^2}{\dfrac{2ML}{mg}+t^2}g.dt[/tex]
Đặt [tex]a=\sqrt{\frac{2ML}{mg}}[/tex]
[tex]dv=\frac{a^2+3t^2}{a^2+t^2}dt\Rightarrow v=\int_0^{\sqrt{\frac{2L}{g}}} \frac{a^2+3t^2}{a^2+t^2}dt=a^2\int_0^{\sqrt{\frac{2L}{g}}}\frac{dt}{a^2+t^2}+\int_0^{\sqrt{\frac{2L}{g}}}\frac{3t^2dt}{a^2+t^2}=I_1+I_2 [/tex]

Tích phân thứ nhất đặt [tex]t=atanx[/tex]
Tích phân thứ hai đặt [tex]t=asinx'[/tex]
Không chắc đúng không nhưng mà kết quả thấy ghê quá :(

Bài này là dạng toán đặc trưng về hệ có khối lượng thay đổi. Chọn gốc tọa độ tại M, chiều dương hướng lên.
Chia dây thành những phần tử rất nhỏ khối lượng [tex]dm=\frac{m}{L}dy[/tex]
Trước tiên ta tính lực tại thời điểm t lúc phần tử thứ [tex]dm_i[/tex] đập vào M, lực này gồm 2 phần:
- Phần thứ nhất là trọng lượng phần nằm đã rơi và trong lực của M
- Phần thứ hai là do sự biến thiên động lượng của mắc xích dm
[tex]F_i=F_1+F_2=Mg+\frac{m}{L}yg+\frac{dp}{dt}=Mg+\frac{m}{L}yg+v\frac{dm}{dt}=Mg+\frac{m}{L}yg+\sqrt{2gy}\frac{mdy}{Ldt}=Mg+\frac{m}{L}yg+2gy\frac{m}{L}=Mg+\frac{3mgy}{L}=Mg+\frac{3mg^2t^2}{2L}[/tex]
Gia tốc của hệ tại thời điểm t:
[tex]a=\frac{F_i}{m_i}=\frac{\dfrac{2ML}{mg}+3t^2}{\dfrac{2ML}{mg}+t^2}g=\frac{dv}{dt}[/tex]
Suy ra:
[tex]dv=\frac{\dfrac{2ML}{mg}+3t^2}{\dfrac{2ML}{mg}+t^2}g.dt[/tex]
Đặt [tex]a=\sqrt{\frac{2ML}{mg}}[/tex]
[tex]\frac{dv}{g}=\frac{a^2+3t^2}{a^2+t^2}dt[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{v}{g}=\int_0^{\sqrt{\frac{2L}{g}}} \frac{a^2+3t^2}{a^2+t^2}dt=a^2\int_0^{\sqrt{\frac{2L}{g}}}\frac{dt}{a^2+t^2}+\int_0^{\sqrt{\frac{2L}{g}}}\frac{3t^2dt}{a^2+t^2}=a^2\int_0^{\sqrt{\frac{2L}{g}}}\frac{dt}{a^2+t^2}+3\int_0^{\sqrt{\frac{2L}{g}}}dt-\int_0^{\sqrt{\frac{2L}{g}}}\frac{3a^2dt}{a^2+t^2}=3\int_0^{\sqrt{\frac{2L}{g}}}dt-2a^2\int_0^{\sqrt{\frac{2L}{g}}}\frac{dt}{a^2+t^2}=I_1+I_2 [/tex]


[tex]\frac{v}{g}=3\sqrt{\frac{2L}{g}}-2\sqrt{\frac{2ML}{mg}}\arctan{{(\sqrt\frac{2mL}{gM})[/tex]

bài này còn có cả lò xo nữa mới cả khi xét phần tử thứ i thì độ biến thiên dp phải là d(mv) trong đó m và v cũng biến thiên theo y 

Bạn có lời giải bài này không?
Bài toán này khá khó chịu vì bảo toàn năng lượng không đc áp dụng, cũng như bảo toàn động lượng.
Bài này theo t chắc hắn phải sử dụng một số phép gần đúng để giải, vì nếu không sử dụng, phương trình vi phân sẽ khá phức tạp.
Nếu xem khối lượng dây nhỏ hơn nhiều so với M thì cần bỏ qua một số đại lượng sau
+ Thứ nhất độ dịch chuyển của M, do đó có thể coi gần đúng vận tốc chạm M của dm sẽ là [tex]v=\sqrt{2gy}[/tex]
+ Do độ dịch chuyển nhỏ nên bỏ qua lực đàn hồi của lò xo.
Khi bỏ qua hai đại lượng này t nghĩ rằng pt vi phân sẽ trở nên đơn giản và có thể giải đc

Em chưa có lời giải nhưng mà theo đề bài đầy đủ thì nó không nói thêm bất cứ điều kiện nào cả mới lại khi giải em cũng ra phương trình vi phân nhưng khó quá không giải được

Đề bài ở đâu vậy bạn. Có thể gửi qua cho mình xem được k. email của mình là mrbap97@gmail.com Thông thường nếu thấy pt khó quá không giải được thì phải áp dụng gần đúng để giải mặc dù đề không nói gì thêm. Đây là cách giải mà mình nghĩ là hoàn thiện nhất cho bài toán này:
Xem khối lượng dây rất nhỏ so với M, do đó có thể bỏ qua độ dịch chuyển của M khi dây rơi xuống, thời gian rơi rất nhỏ nên có thể xem trong suốt quá trình lò xo không di chuyển mà chỉ di chuyển sau khi quá trình kết thúc.
Tại thời điểm t, lực tác dụng lên hệ vật (M+dm) bao gồm: trọng lực của dm (vì trọng lực của M đã cân bằng với lò xo) và lực sinh ra do độ biến thiên động lượng dm.
[tex]F_i=F_1+F_2=\frac{m}{L}yg+v\frac{dm}{dt}=\frac{3m}{L}yg=\frac{3m}{2L}g^2t^2[/tex]
Gia tốc tại thời điểm t
[tex]a=\frac{F_i}{M+\dfrac{m}Ly}=\frac{\dfrac{3m}{2L}g^2t^2}{M+\dfrac{m}{2L}gt^2}=\frac{du}{dt}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{u}{g}= \int^{\sqrt{\dfrac{2L}{g}}}_0 \frac{3t^2}{\dfrac{2ML}{mg}+t^2}dt[/tex]
 Đặt [tex]a=\sqrt{\dfrac{2ML}{mg}}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{u}{g} =3\int^{\sqrt{\dfrac{2L}{g}}}_0 dt-3a^2\int^{\sqrt{\dfrac{2L}{g}}}_0 \frac{dt}{a^2+t^2}[/tex]
[tex] \Leftrightarrow \frac{u}{g} =3\sqrt{\dfrac{2L}{g}}-3a\arctan{\frac{t}{a}}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{u}{g}=3\sqrt{\dfrac{2L}{g}}-3\sqrt{\dfrac{2ML}{mg}}\arctan{\sqrt{\frac{m}{M}}}[/tex]

Đây là đề bài thầy cho nên không thể gửi được bằng gmail.Thầy chưa giải nên không biết nếu để biến đổi nhỏ có được không