Diễn Đàn Vật Lý | Thư Viện Vật Lý

CÁC KHOA HỌC KHÁC => TOÁN HỌC => Tác giả chủ đề:: MTP trong 08:45:25 PM Ngày 20 Tháng Bảy, 2014

Đọc bản đầy đủ ở đây: http://thuvienvatly.com/forums/index.php?topic=21287



Tiêu đề: Bài tập tìm m để hàm số có cực trị
Gửi bởi: MTP trong 08:45:25 PM Ngày 20 Tháng Bảy, 2014
1)Cho hàm số y= x^4 - mx^2 +m có 3 điểm cực trị là A,B,C và tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.Mọi người giải giùm em bài này...thêm bài nữa
2)Cho hàm số y=x^4-2mx^2+1.Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và đường tròn qua 3 điểm này có bán kính bằng 1


Tiêu đề: Trả lời: Bài tập tìm m để hàm số có cực trị
Gửi bởi: 1412 trong 09:35:44 PM Ngày 20 Tháng Bảy, 2014
1)Cho hàm số y= x^4 - mx^2 +m có 3 điểm cực trị là A,B,C và tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.
Ta có [tex]y'=4x^{3}-2mx[/tex]
Để hàm số có 3 cực trị thì y'=0 có 3 nghiệm phân biệt và y' đổi dấu khi qua 3 nghiệm đó
[tex]y'=4x^{3}-2mx=0\Leftrightarrow 2x(2x^{2}-m)=0[/tex]
Nhận thấy PT y'=0 có 1 nghiệm x=0 nên để thoả YCBT thì PT[tex]2x^{2}-m=0[/tex] có 2 nghiệm phân biệt khác 0[tex]\Leftrightarrow \begin{cases} x^{2}=\frac{m}{2} \\ 2.0^{2}-m\neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m>0\\ m\neq0 \end{cases} \Leftrightarrow m>0[/tex]
Khi đó PT y'=0 có 3 nghiệm phân biệt là hoành độ của 3 điểm cực trị [tex]y'=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=\sqrt{\frac{m}{2}} \\ x=-\sqrt{\frac{m}{2}} \end{cases}[/tex] (dấu hoặc chứ không phải dấu và)
=> 3 điểm cực trị là A(0;m), B([tex]\sqrt{\frac{m}{2}};-\frac{m^{2}}{4}+m[/tex]), C([tex]-\sqrt{\frac{m}{2}};-\frac{m^{2}}{4}+m[/tex])
Để O(0;0) là trọng tâm của tam giác ABC thì[tex]\begin{cases} x_{o}= \frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3} \\ y_{o}= \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0+\sqrt{\frac{m}{2}}-\sqrt{\frac{m}{2}}=0(hn) \\ m-\frac{m^{2}}{2}+m-\frac{m^{2}}{2}+m = 0 \end{cases} \Leftrightarrow 3m-m^{2}=0 \Leftrightarrow \begin{cases} m=0 \\ m=3 \end{cases}[/tex] (dấu hoặc chứ không phải dấu và)
Nhận nghiệm m=3 (thỏa m>0)
Vậy m=3 thỏa YCBT
Mọi người xem giúp em nếu có sai mong mọi ngừoi sửa cho em với ạ ^-^


Tiêu đề: Trả lời: Bài tập tìm m để hàm số có cực trị
Gửi bởi: 1412 trong 10:25:39 PM Ngày 20 Tháng Bảy, 2014
2)Cho hàm số y=x^4-2mx^2+1.Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và đường tròn qua 3 điểm này có bán kính bằng 1
Ta có [tex]y'=4x^{3}-4mx[/tex]
[tex]y'=4x^{3}-4mx=0\Leftrightarrow 4x(x^{2}-m)=0\Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ x^{2}=m(*) \end{cases}[/tex]
Để hàm số có 3 cực trị <=> PT y'=0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu khi qua 3 nghiệm đó
<=> PT (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 <=> m>0 (làm tưong tự câu 1)
=> y'=0 có 3 nghiệm phân biệt là hoành độ 3 điểm cực trị [tex]y'=0\Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=\sqrt{m} \\ x=-\sqrt{m} \end{cases}[/tex]
(Dấu hoặc chứ không phải dấu và)
=> Các điểm cực trị là A(0;1), B([tex]\sqrt{m};-m^{2}+1[/tex]), C([tex]-\sqrt{m};-m^{2}+1[/tex])
Nhận thấy 2 điểm B, C đối xứng qua trục Ox.
Gọi I là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A,B,C thì I cách đều A,B,C một khoảng bằng 1 ( theo đề)
=> I phải nằm trên Ox ( để cách đều B,C) và I có tọa độ là (0,0) hoặc (0,2) để cách A(0,1) một khoảng bằng 1
- TH1:
Nếu I(0,0), PT đường tròn là [tex](x-0)^{2}+(y-0)^{2}=1^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1[/tex]
Thay tọa độ B vào PT đường tròn chọn nghiệm nào > 0 thì thỏa YCBT
- TH2:
 Nếu I(0,2), PT đường tròn là [tex]x^{2}+(y-2)^{2}=1[/tex]
Thay tọa độ B vào PT rồi làm tưong tự như trên
Mình ra nghiệm có căn nên bạn tự giải tiếp
Mọi người nếu thấy sai thì sửa giúp em với ạ!