Diễn Đàn Vật Lý | Thư Viện Vật Lý

CÁC KHOA HỌC KHÁC => TOÁN HỌC => Tác giả chủ đề:: superburglar trong 06:11:25 AM Ngày 07 Tháng Sáu, 2014

Đọc bản đầy đủ ở đây: http://thuvienvatly.com/forums/index.php?topic=20547



Tiêu đề: Hình không gian Oxyz + Phương trình
Gửi bởi: superburglar trong 06:11:25 AM Ngày 07 Tháng Sáu, 2014
Hihi. Mình đang cần giải gấp mấy câu này. Mong các bạn cố gắng giúp đỡ mình càng sớm càng tốt nhé. Thanks các bạn trước nha :x :x :x
Câu 1: Giải phương trình: [tex]\sqrt{2x-1}+\sqrt[4]{4x-3}=2x[/tex]
Câu 2: Trong không gian cho 2 đường thẳng: [tex](d_1): \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}[/tex] và [tex](d_2):\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-2}.[/tex] Biết 2 đường thẳng [tex](d_1),\,(d_2)[/tex] cắt nhau tại [tex]I.[/tex] Gọi [tex]A,\,B[/tex] lần lượt nằm trên [tex](d_1),\,(d_2)[/tex] sao cho [tex]\Delta ABI[/tex] vuông tại [tex]A[/tex] và có [tex]S_{ABI}=18\sqrt{5}[/tex]. Tìm tọa độ điểm [tex]A.[/tex]


Tiêu đề: Trả lời: Hình không gian Oxyz + Phương trình
Gửi bởi: Alexman113 trong 08:50:58 AM Ngày 07 Tháng Sáu, 2014
Câu 1: Giải phương trình: [tex]\sqrt{2x-1}+\sqrt[4]{4x-3}=2x[/tex]
Bài này ngay khi nhìn vào ta thấy xuất hiện của tần suất căn thức khá nhiều, đặc biệt hơn xuất hiện cái căn bậc bốn nữa, nhẩm qua thấy có nghiệm duy nhất [tex]x=1[/tex] do đó chắc hẳn sẽ phải nghĩ ngay đến Liên hợp. Như ở Topic trước đã nói, có nghiệm [tex]x=1[/tex] thì chắc chắn phải làm xuất hiện được nhân tử [tex]\left(x-1\right)[/tex] mới thành công. Ta có hai hướng đi như sau:
Điều kiện xác định: [tex]x\ge\dfrac{3}{4}[/tex]
Cách 1: Phương trình đã cho tương đương với:
                  [tex]\sqrt{2x-1}-1+\sqrt[4]{4x-3}-1-2\left(x-1\right)=0[/tex]
           [tex]\Leftrightarrow \dfrac{2x-1-1}{\sqrt{2x-1}+1}+\dfrac{\sqrt{4x-3}-1}{\sqrt[4]{4x-3}+1}-2\left(x-1\right)=0[/tex]
           [tex]\Leftrightarrow \dfrac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{2x-1}+1}+\dfrac{2\times2\left(x-1\right)}{\left(\sqrt[4]{4x-3}+1\right)\left(\sqrt{4x-3}+1\right)}-2\left(x-1\right)=0[/tex]
           [tex]\Leftrightarrow 2\left(x-1\right)\underbrace{\left[\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}+1}+\dfrac{2}{\left(\sqrt[4]{4x-3}+1\right)\left(\sqrt{4x-3}+1\right)}-1\right]}_{>0,\,\forall x\ge\frac{3}{4}}=0[/tex]
            [tex]\Leftrightarrow x=1[/tex]
Cách 2: Phương trình đã cho tương đương với:
                  [tex]\sqrt{2x-1}-x+\sqrt[4]{4x-3}-x=0[/tex]
           [tex]\Leftrightarrow \dfrac{2x-1-x^2}{\sqrt{2x-1}+x}+\dfrac{\sqrt{4x-3}-x^2}{\sqrt[4]{4x-3}+x}=0[/tex]
           [tex]\Leftrightarrow-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{\sqrt{2x-1}+x}+\dfrac{4x-3-x^4}{\left(\sqrt[4]{4x-3}+x\right)\left(\sqrt{4x-3}+x^2\right)}=0[/tex]
           [tex]\Leftrightarrow-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{\sqrt{2x-1}+x}-\dfrac{\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x+3\right)}{\left(\sqrt[4]{4x-3}+x\right)\left(\sqrt{4x-3}+x^2\right)}=0[/tex]
           [tex]\Leftrightarrow \left(x-1\right)^2\underbrace{\left[-\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}+x}-\dfrac{\left(x^2+2x+3\right)}{\left(\sqrt[4]{4x-3}+x\right)\left(\sqrt{4x-3}+x^2\right)}\right]}_{<0,\,\forall x\ge\frac{3}{4}}=0[/tex]
            [tex]\Leftrightarrow x=1[/tex]
Vậy: phương trình đã cho có nghiệm duy nhất [tex]x=1.\,\,\,\blacksquare[/tex]
Anh tham khảo thêm ở đây (http://thuvienvatly.com/forums/index.php?topic=20353.0) nhé!


Tiêu đề: Trả lời: Hình không gian Oxyz + Phương trình
Gửi bởi: Alexman113 trong 10:53:36 AM Ngày 07 Tháng Sáu, 2014
Câu 2: Trong không gian cho 2 đường thẳng: [tex](d_1): \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}[/tex] và [tex](d_2):\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-2}.[/tex] Biết 2 đường thẳng [tex](d_1),\,(d_2)[/tex] cắt nhau tại [tex]I.[/tex] Gọi [tex]A,\,B[/tex] lần lượt nằm trên [tex](d_1),\,(d_2)[/tex] sao cho [tex]\Delta ABI[/tex] vuông tại [tex]A[/tex] và có [tex]S_{ABI}=18\sqrt{5}[/tex]. Tìm tọa độ điểm [tex]A.[/tex]
Ta có: [tex](d_1):\begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1+2t\end{cases};\,\,\,(d_2):\begin{cases}x=t'\\y=-1+2t'\\z=3-2t'\end{cases}[/tex]
Vì [tex]I=(d_1)\cap (d_2)[/tex] nên tọa độ điểm [tex]I[/tex] thỏa của hệ: [tex]\begin{cases}1+t=t'\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\1+2t=-1+2t'\,(2)\\1+2t=3-2t'\,\,\,\,\,\,(3)\end{cases}[/tex]
Từ [tex](1);\,(3)\Rightarrow \begin{cases}t-t'=-1\\t+t'=1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}t=0\\t'=1\end{cases}[/tex] thay vào [tex](2)[/tex] thấy thỏa mãn, suy ra [tex]I\left(1;\,1;\,1\right)[/tex]
Gọi [tex]A\left(1+a;\,1+2a;\,1+2a\right)\in(d_1);\,B\left(b;\,-1+2b;\,3-2b\right)\in(d_2)[/tex]
Ta có: [tex]\overrightarrow{AB}=\left(b-a-1;\,2b-2a-2;\,-2b-2a+2\right);\,\,\,\,\overrightarrow{AI}=\left(-a;\,-2a;\,-2a\right)[/tex]
Vì [tex]\Delta ABI[/tex] vuông tại [tex]A[/tex] nên: [tex]\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AI}=0\Leftrightarrow 9a^2-a\left(b-1\right)=0\,\,(\bullet)[/tex]
Đến đây sai lầm nhiều người hầu hết mắc phải đấy là "bị gài vào bẫy", cái cảm tính trong Toán, thói quen nhiều lúc luôn dẫn con người ta đi vào một lối mòn nào đó nhưng khổ nỗi đó lại là ĐƯỜNG CÙNG! Ta luôn tính diện tích [tex]\Delta ABI[/tex] vuông tại [tex]I[/tex] bằng công thức [tex]S_{ABI}=\dfrac{1}{2}AB\times AI[/tex] nhưng để ý một chút thì tọa độ [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] có vẻ quá phức tạp, sẽ rất lằng nhằng khi chuyển về độ dài rồi lắp vào công thức để giải, khi ấy CHƯA ĐI CŨNG ĐÃ THẤY MỆT. Vậy ta sẽ phải tìm con đường khác để đi, một con đường có vẻ sáng sủa hơn khi lại thấy tọa độ [tex]I[/tex] rất đẹp tạm gọi là "GIÀU", hai thằng [tex]A,\,B[/tex] vẫn còn là hai ẩn sổ tạm gọi là "NGHÈO".
Một điều thú vị rằng muốn GIÀU phải đi với thằng GIÀU, chứ NGHÈO mà lại gặp NGHÈO thì NGHÈO kiếp xác à? Lấy tư tưởng ấy hãy cho hai thằng NGHÈO đi cùng thằng GIÀU ta sẽ không còn phải bế tắc trong cái NGHÈO nữa.
Ta có: [tex]\overrightarrow{BI}=\left(1-b;\,2-2b;\,-2+2b\right)\Rightarrow BI=3\left(b-1\right)[/tex]
Gọi [tex]\overrightarrow{u}=\left(1;\,2;\,-2\right)[/tex] là vectơ chỉ phương của [tex]d_2[/tex]
[tex]\left|\left[\overrightarrow{AI};\,\overrightarrow{u}\right]\right|=4a\sqrt{5};\,\,\left|\overrightarrow{u}\right|=3.[/tex]
Ta có: [tex]d_{\left(A;\,(d_2)\right)}=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{AI};\,\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\dfrac{4a\sqrt{5}}{3}[/tex]
[tex]S_{ABI}=\dfrac{1}{2}d_{\left(A;\,(d_2)\right)}\times BI=2\sqrt{5}a\left(b-1\right)[/tex]
Mà [tex]S_{ABI}=18\sqrt{5}\Rightarrow a\left(b-1\right)=9\,(\bullet \bullet)[/tex]
Từ [tex](\bullet)[/tex] và [tex](\bullet \bullet)\Rightarrow \left[\begin{array}{l}a=1\,\,\left(\text{nhan}\right)\\a=-1\,\,\left(\text{loai}\right)\end{array}\right.[/tex]
Vậy: [tex]A\left(2;\,3;\,3\right).[/tex]
Lưu ý: trong bài đã sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng bất kì trong không gian.
Trong không gian [tex]Oxyz[/tex] cho [tex]M[/tex] và [tex]\left(\Delta\right).[/tex] Để tính khoảng cách từ [tex]M[/tex] đến [tex]\left(\Delta\right)[/tex] ta lấy [tex]M'\in\left(\Delta\right),[/tex] tính vectơ chỉ phương [tex]\overrightarrow{u}[/tex] của [tex]\left(\Delta\right)[/tex] rồi áp dụng công thức:
[tex]\boxed{d_{\left(M;\,\left(\Delta\right)\right)}=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{MM'};\,\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}}[/tex]


Tiêu đề: Trả lời: Hình không gian Oxyz + Phương trình
Gửi bởi: huongduongqn trong 11:08:55 AM Ngày 07 Tháng Sáu, 2014
Câu 2: Trong không gian cho 2 đường thẳng: [tex](d_1): \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}[/tex] và [tex](d_2):\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-2}.[/tex] Biết 2 đường thẳng [tex](d_1),\,(d_2)[/tex] cắt nhau tại [tex]I.[/tex] Gọi [tex]A,\,B[/tex] lần lượt nằm trên [tex](d_1),\,(d_2)[/tex] sao cho [tex]\Delta ABI[/tex] vuông tại [tex]A[/tex] và có [tex]S_{ABI}=18\sqrt{5}[/tex]. Tìm tọa độ điểm [tex]A.[/tex]
y:) Tìm I
[tex]I=d_1\bigcap{d_2}[/tex] nên ta giải hệ hai pt đường thẳng và tìm ra I (1;1;1)
 y:) Tìm A
A thuộc d1 nên ta có A (x; 2x-1;2x-1)
Góc của hai đường thẳng này là:
[tex]cos\varphi =\frac{\vec{u_1}\vec{u_2}}{\left|\vec{u_1} \right|\left|\vec{u_2} \right|}=\frac{1}{3} \rightarrow tan\varphi =2\sqrt{2}[/tex]
[tex]S_I_A_B= \frac{1}{2}AI^2tan\varphi[/tex]
[tex] IA^2=18\sqrt{2,5}=(x-1)^2+(2x-1-1)^2+(2x-1-1)^2=18\sqrt{2,5}[/tex]
[tex]\rightarrow x^2-2x+1-2\sqrt{2,5}=0[/tex]
Bạn giải pt này thì tìm ra x rồi tìm ra A

Lâu rồi ko học toán mình giải vậy bạn tham khảo nha