Trang để in - Hệ phương trình.

Trích dẫn từ: ngochocly trong 05:24:37 pm Ngày 22 Tháng Năm, 2014

Giải hệ phương trình:

[tex]\left\{\begin{matrix}2x^{2}+y^{2}-3xy+3x-2y+1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\4x^{2}-y^{2}+x+4=\sqrt{2x+y}+\sqrt{x+4y}\,\,\,\,(2)\end{matrix}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x,y \in\mathbb{R})[/tex]

Mọi người giải giúp nha! ^-^

Lời giải + Phân tích ý tưởng

Điều kiện xác định: [tex]\begin{cases}2x+y\ge0\\x+4y\ge0 \end{cases}[/tex]
Nhin vào hệ ta thấy phương trình [tex](2)[/tex] có căn nên có vẻ phức tạp quá, khó có khả năng đụng tới được, nhìn về phương trình [tex](1)[/tex] thấy có vẻ có mùi của Đẳng cấp nhưng khổ nổi lại có hai thằng [tex]x,\,y[/tex] đi chung tạo [tex]-3xy[/tex] nên có vẻ thất vọng nhưng chợt nhớ, đó mới chính là gợi ý của tác giả để ta nghĩ đến kiểu đưa về phương trình bậc hai ẩn này tham số kia, đó mới chỉ là ý tưởng không biết có thực hiện được nữa không, nhưng trong phòng thi mà, lóe lên được ý tưởng nào phải làm ngay, cứ thử xem sao.
[tex](1)\Leftrightarrow 2x^2-3\left(y-1\right)x+y^2-2y+1=0\,\,\,(*)[/tex]
Ta có: [tex]\Delta=\left[-3\left(y-1\right)\right]^2-4\times2\left(y^2-2y+1\right)=9\left(y^2-2y+1\right)-8\left(y^2-2y+1\right)=y^2-2y+1=\left(y-1\right)^2[/tex]
Suy ra, phương trình [tex](*)[/tex] có hai nghiệm là: [tex]\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{3\left(y-1\right)+\left(y-1\right)}{4}=y-1\\x=\dfrac{3\left(y-1\right)-\left(y-1\right)}{4}=\dfrac{y-1}{2}\end{array}\right.[/tex]
[tex]\bullet[/tex] Với [tex]x=y-1\Leftrightarrow y=x+1[/tex] thay vào [tex](2),[/tex] ta có:

[tex]4x^2-\left(x+1\right)^2+x+4=\sqrt{2x+x+1}+\sqrt{x+4x+4}\Leftrightarrow\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+4}=3x^2-x+3[/tex]

Đến đây hẳn nhiều bạn sẽ khá là bối rối không biết xử lí thế nào, thì kinh nghiệm cho thấy đề thi Đại học các năm xu hướng có căn thì thường sẽ liên hợp hoặc là dùng công cụ đạo hàm để xử lí. Thì ở đây dễ dàng nhẩm nghiệm ta kiểm soát được phương trình có hai nghiệm là [tex]x=0[/tex] và [tex]x=1[/tex] thì [tex]100\%[/tex] ta phải liên hợp rồi. Khi làm thì có lẻ là do làm vội nên chỉ kiểm soát được có một nghiệm là [tex]x=0[/tex] nên mình liên hợp thế này làm Bài toán có vẻ dài và phức tạp hơn, khi nhận ra được còn sót một nghiệm nữa là [tex]x=1[/tex] lại phải Liên hợp thêm một lần nữa 8-x . Ở đây nói kinh nghiệm luôn nhé, giả sử trong một phương trình chứa căn mà ta đã nhẩm được nghiệm (thường đề Đại học cho tối đa là hai nghiệm thôi) thì ta cứ lấy nghiệm bất kì nào đó thế vào căn ra số nguyên, xong cứ trừ đi số đấy sẽ thành công, lý thuyết thì thế, vừa dài dòng, lằng nhằng lại khó hiểu nữa, ta cứ bắt tay vào làm thôi rồi tự nhiên sẽ cảm nhận được.
Cách 1: tạm gọi là sai lầm của mình: Ban đầu (do sơ suất) nên chỉ nhẩm được một nghiệm là [tex]x=0[/tex] thôi, với giá trị đó ([tex]x=0[/tex]) thì [tex]\begin{cases}\sqrt{3x+1}=1\\\sqrt{5x+4}=2\end{cases}[/tex] nên ta làm như sau:

[tex]\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+4}=3x^2-x+3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\sqrt{3x+1}-1+\sqrt{5x+4}-2=3x^2-x[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{3x+1}-1+\sqrt{5x+4}-2-\left(3x^2-x\right)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \dfrac{3x}{\sqrt{3x+1}+1}+\dfrac{5x}{\sqrt{5x+4}+2}-x\left(3x-1\right)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x\left[\dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+1}+\dfrac{5}{\sqrt{5x+4}+2}-\left(3x-1\right)\right]=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x\left[\dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+1}-1+\dfrac{5}{\sqrt{5x+4}+2}-1-\left(3x-3\right)\right]=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x\left[\dfrac{2-\sqrt{3x+1}}{\sqrt{3x+1}+1}+\dfrac{3-\sqrt{5x+4}}{\sqrt{5x+4}+2}-3\left(x-1\right)\right]=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x\left[\dfrac{-3\left(x-1\right)}{\sqrt{3x+1}+1}+\dfrac{-5\left(x-1\right)}{\sqrt{5x+4}+2}-3\left(x-1\right)\right]=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\underbrace{\left[\dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+1}+\dfrac{5}{\sqrt{5x+4}+2}+3\right]}_{>0}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=1\\x=1\Rightarrow y=2\end{array}\right.[/tex]

Cách 2: Ta nhẩm được hai nghiệm là [tex]x=0[/tex] và [tex]x=1[/tex] nên chắc chắn sẽ có nhân tử [tex]x\left(x-1\right)=x^2-x,[/tex] vậy ta làm như sau:

[tex]\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+4}=3x^2-x+3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x+1-\sqrt{3x+1}+x+2-\sqrt{5x+4}+3\left(x^2-x\right)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \dfrac{x^2-x}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\dfrac{x^2-x}{x+2+\sqrt{5x+4}}+3\left(x^2-x\right)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left(x^2-x\right)\underbrace{\left[\dfrac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\dfrac{1}{x+2+\sqrt{5x+4}}+3\right]}_{>0}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^2-x=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=1\\x=1\Rightarrow y=2\end{array}\right.[/tex]

[tex]\bullet[/tex] Với [tex]x=\dfrac{y-1}{2}\Leftrightarrow y=2x+1[/tex] thay vào [tex](2),[/tex] ta có:

[tex]4x^2-\left(2x+1\right)^2+x+4=\sqrt{2x+2x+1}+\sqrt{x+4\left(2x+1\right)}\\\Leftrightarrow \sqrt{4x+1}+\sqrt{9x+4}=3-3x[/tex]

Đến đây cũng tiếp tục chơi trò cũ nhẩm nghiệm - liên hợp ta thấy nghiệm duy nhất [tex]x=0,[/tex] nên:

[tex]\sqrt{4x+1}+\sqrt{9x+4}=3-3x[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{4x+1}-1+\sqrt{9x+4}-2=-3x[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \dfrac{4x}{\sqrt{4x+1}+1}+\dfrac{9x}{\sqrt{9x+4}+2}+3x=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x\underbrace{\left(\dfrac{4}{\sqrt{4x+1}+1}+\dfrac{9}{\sqrt{9x+4}+2}+3\right)}_{>0}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y=1[/tex]

Đối chiếu với điều kiện ban đầu, vậy hệ phương trình đã cho có một cặp nghiệm là: [tex]\left(0;\,1\right),\,\left(1;\,2\right).\,\,\,\,\blacksquare[/tex]

Diễn Đàn Vật Lý | Thư Viện Vật Lý

CÁC KHOA HỌC KHÁC => TOÁN HỌC => Tác giả chủ đề:: ngochocly trong 05:24:37 pm Ngày 22 Tháng Năm, 2014