Logo Thư Viện Vật Lý
Banner Thư Viện Vật Lý

> > LỜI GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ VÀ NHỮNG KHÁC BIỆT VỚI DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN

LỜI GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ VÀ NHỮNG KHÁC BIỆT VỚI DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN

* dongdang59 - 724 lượt tải

Chuyên mục: Kho luận văn, luận án, tiểu luận seminar

Để download tài liệu LỜI GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ VÀ NHỮNG KHÁC BIỆT VỚI DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN các bạn click vào nút download bên dưới.

Mời bạn truy cập vào kho download tài nguyên với thư viện giáo án điện tử, thư viện đề kiểm tra - trắc nghiệm và nhiều tài nguyên quý giá khác nữa.

Nếu bạn thích tài liệu LỜI GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ VÀ NHỮNG KHÁC BIỆT VỚI DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN , click nút "Cảm ơn" hoặc "Thích" và chia sẻ cho bạn bè mình.

Hãy Đăng kí để nhận file mới qua email
Download reader Hướng dẫn


► Like TVVL trên Facebook nhé!
Luong tu thu vi
Hỗ trợ  Upload
Thêm vào bộ sưu tập

Mã nhúng hiện file trên blog của bạn:

* Bạn muốn Viết công thức toán tại comment Facebook này, hãy đọc bài hướng dẫn tại đây: Cách gõ công thức toán trong Facebook
9 Đang tải...
Chia sẻ bởi: Quang Đông
Ngày cập nhật: 15/03/2015
Tags: LỜI GIẢI, BÀI TOÁN, DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ, NHỮNG KHÁC BIỆT VỚI DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ, TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN
Ngày chia sẻ:
Tác giả dongdang59
Phiên bản 1.0
Kích thước: 230.57 Kb
Kiểu file: docx
Hãy đăng kí hoặc đăng nhập để tham gia bình luận

  • Tài liệu LỜI GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ VÀ NHỮNG KHÁC BIỆT VỚI DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN là file được upload bởi thành viên của Thư Viện Vật Lý như đã trình bày trên. Cộng đồng Thư Viện Vật Lý hết sức cảm ơn tác giả đã chia sẻ tài liệu này.

    Rất mong các bạn đóng góp bằng cách upload file để kho tài liệu của chúng ta thêm phong phú.

Dưới đây là phần văn bản trích từ tài liệu

Chú ý:

- Có thể font chữ sẽ không hiển thị đúng, bạn nên click nút download để tải về máy đọc cho hoàn thiện.

- Download bộ font .VnTimes, VNI-Times đầy đủ nếu máy bạn chưa có đủ font tiếng Việt.

LỜI GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ VÀ NHỮNG KHÁC BIỆT VỚI DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN

Đặng Quang Đông

TÓM TẮT

Bài toán dao động tử điều hoà là bài toán cơ bản trong cơ học cổ điển, cũng như trong cơ học lượng tử. Nhiều bài toán trong lĩnh vực vật lí hạt nhân nguyên tử có thể đưa về dạng dao động tử điều hoà. Điều này lí giải tại sao mô hình dao động tử điều hoà có vai trò quan trọng trong vật lí. Trong bài báo này, tôi trình bày về lời giải bài toán dao động tử điều hoà một chiều (có mở rộng về dao động tử điều hoà ba chiều) và sự khác nhau giữa dao động tử điều hoà trong cơ học cổ điển và cơ học lượng lử.

Abstract

The harmonic oscillator problem is a basic problem in classical physics and quantum mechanics. Many nuclear physics’ problems can be solved like the harmonic oscillator in quantum mechanics. It is a reason why the Harmonic oscillator has an important role in physics. In this paper, I represent the solution of the harmonic oscillator problem in one-dimension space, expanse in three-dimension space and the difference from the harmonic oscillator in classical physics.

1 Bài toán dao động tử điều hoà trong cơ học cổ điển

Trong cơ học cổ điển, dao động tử điều hoà là một hệ cơ học thực hiện dao động được mô tả bởi những hàm số điều hoà theo thời gian, mà cụ thể ở đây là hàm sin và cos. Ví dụ như con lắc đơn, con lắc lò xo nằm ngang, dao động điện từ trong mạch lò xo…

Xét hạt khối lượng m dao động dọc theo trục x dưới tác dụng của lực F=-kx với k là hằng số dương, thường gọi là hệ số đàn hồi, x là độ dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng đặt tại gốc toạ độ x=0. Hệ như vậy gọi là dao động tử điều hoà 1.

Phương trình của dao động tử điều hoà theo cơ học cổ điển là

F=mx=md2xdt2 => d2xdt2+kmx=0

Đặt ω2=km>0, trong đó ω=km là tần số dao động.

Nghiệm của phương trình, có dạng:

Ta có F=-gradV(x)= -dV(x)dx nên thế năng của dao động tử điều hoà

V(x)=-Fdx=kx22=mω22x2=ma2ω2cos2(ωt+φ)2 (1)

Động năng của hạt được tính theo công thức: T=mx22=ma2ω2sin2(ωt+φ)2

Năng lượng toàn phần của hạt: E = T + V = ma2ω22

Ứng với một giá trị

, năng lượng có thể có những giá trị liên tục, tỉ lệ thuận với a. 1

Nhiều vấn đề trong vật lí hạt nhân nguyên tử có thể đưa về những dao động tử điều hoà tuyến tính - những dao động nhỏ xung quanh vị trí cân bằng (ví dụ như dao động của hạt nhân nguyên tử, dao động nhiệt trong tinh thể, dao động của các nút mạng tinh thể xung quanh vị trí cân bằng…). Điều này lí giải tại sao mô hình dao động tử điều hoà có vai trò quan trọng trong vật lí.1

Nhưng trong thực tế, dao động của những hệ thực không phải bao giờ cũng điều hoà và thế năng của hệ không có dạng parabol như (1). Tuy nhiên, nếu hệ thực đó dao động với biên độ nhỏ thì ta có thể sử dụng khai triển Taylor cho hàm thế năng của nó 1

Vx=i=0∞1i!∂iVx0∂x0i(x-x0)i=Vx0+V'x0x-x0+V''(x0)2(x-x0)2+…

Do x0 là điểm cực tiểu nên V’(x0)=0, đặt k=V’’(x0) 0 và bỏ qua những số hạng khai triển từ bậc 3 trở lên thì ta sẽ thu được thế năng có dạng V(x)=kx22. 1

2 Bài toán dao động tử điều hoà trong cơ học lượng tử

2.1 Dao động tử điều hoà một chiều

Bài toán dao động tử điều hoà một chiều là bài toán hạt có khối lượng m chuyển động trong hố thế một chiều V(x)=kx22

Hamiltonian của bài toán có dạng H=-ħ22m∂2∂x2+mω2x22

Phương trình Schrodinger của bài toán có dạng

-ħ22m∂2∂x2+mω2x22x,t=Ex,t

Xét trong trường dừng không phụ thuộc thời gian, ta tách biến

x,t=x.(t) (9)

với t=Aexp-iEtħ

x thoả phương trình Schrodinger dừng:

-ħ22m∂2∂x2+mω2x22nx=Ennx (2)

Trong đó, En là năng lượng ở trạng thái dừng nx. Trong phương trình này có nhiều hằng số nên rất khó để giải. Tôi đã đưa phương trình (2) về dạng không thứ nguyên bằng cách chuyển sang biến số mới x=ħmωu, ε=2Eħω (3) ta được phương trình (xem phụ lục 1): 2

∂2(u)∂u2=(u2-ϵ)(u) (4)

Hàm sóng (x) phải thoả điều kiện chuẩn hoá -∞+∞*uudx=1 và điều kiện hữa hạn limx→±∞u=0. Giải bài toán trên, tôi được nghiệm (xem phụ lục 2): 2

u=Aexp(-u22) (5)

Để giải phương trình (4), tôi biểu diễn hàm sóng của bài toán thông qua hàm sóng dưới đây 2u=s(u)exp(-u22) (6)

Và thế (6) vào phương trình (4) ta được: ∂2s∂u2-2u∂s∂u+ϵ-1s=0 (7)

Ta tìm nghiệm phương trình trên dưới dạng chuỗi luỹ thừa 1

su=i=0∞aiui (8)

Thay (8) vào (7) ta được:

i=0∞i+1i+2ai+2-2i+1-ϵaiui=0

Để cho đẳng thức trên đúng với mọi u, hệ số của từng số hạng ở vế trái của phương trình trên phải bằng 0.

i+1i+2ai+2-2i+1-ϵai=0

=> ai+2=2i+1-ϵi+1i+2ai: đây là công thức truy hồi. Công thức này cho phép tính tất cả các hệ số ai của chuỗi (4) nếu ta biết cụ thể a0 và a1. Để nghiệm thu được có ý nghĩa vật lí, ta phải xét 1

limi→∞ai+2≈2ii2ai=aii2

Nên ai≈C(i2!) và s(u)≈Ciui(i2!)=Ciu2nn!=Ceu2

Khi u ∞ thì phương trình (6) sẽ tiến tới vô hạn và điều này trái với điều kiện hữa hạn của hàm sóng u. Để nghiệm thu được hữa hạn tại vô cực, chuỗi vô hạn (8) phải rút về một đa thức, nghĩa là ta phải ngắt chuỗi này tại một số hạng nào đó. Ta ngắt chuỗi tại số hạng thứ n, nghĩa là an≠0 nhưng an+2=0. 1

Suy ra an+2=2n+1-ϵn+1n+2an=0 nên ϵ=ϵn=2n+1 (n=0, 1, 2…)

Suy ra ϵn=2Enħω=2n+1↔En=(n+12)ħω (n=0, 1, 2…)

Vậy ta đã thu được năng lượng bị lượng tử hoá của hệ và các mức năng lượng cách đều nhau.

Khi n=0 thì ϵ=1 và a2=0, a1=a3=a5=…=0 => s(u)=a0

0u=a0e-u22

Khi n=1 thì ϵ=3 và a3=0, a0=a2=a4=…=0 => s(u)=a1u

1u=a1ue-u22

Làm tương tự, ta có bảng sau: 2

n

2Enħω

nxex22a2

0

1

N0

1

3

N12xa

2

5

N2(4x2a2-2)

n

2n+1

NnHn(xa)

Ở đây Hn(u) là đa thức Hermite thứ n. Ta có hệ số Nn 2:

Nn=mωπħ142nn!-12

Vậy từ (3), (5), (9) hàm sóng tổng quát là

nx,t=12nn!πħmωHnexp⁡(-mω2ħx2-in+12ωt)

Và En=(n+12)ħω (n=0, 1, 2…)

2.2 Dao động tử điều hoà ba chiều

Xét một hạt khối lượng m chuyển động trong trường thế dạng

V(x)=m2(ωx2x2+ωy2y2+ωz2z2)

Hamiltonian của hạt là

H=-ħ22m(∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2)+m2(ωx2x2+ωy2y2+ωz2z2)

Phương trình Schrodinger của bài toán có dạng

-ħ22m(∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2)+m2(ωx2x2+ωy2y2+ωz2z2)x,t=Ex,t

Xét trong trường dừng không phụ thuộc thời gian, ta tách biến

x,t=XxYyZ(z).(t) (8) với t=Aexp-i(Ex+Ey+Ez)tħ

Giải bài toán trên, ta được kết quả (làm tương tự như dao động tử điều hoà một chiều):

nx,y,z,t=12nn!πħmω3Hnxexp-mω2ħx2-inx+12ωt.Hnyexp-mω2ħy2-iny+12ωt.Hnzexp⁡(-mω2ħz2-inz+12ωt)

Và En=nx+12ħωx+ny+12ħωy+nz+12ħωz

3 Những điểm khác biệt giữa dao động tử điều hoà trong cơ học cổ điển và cơ học lượng lử:

2409825895350010477519431000

Đồ thị trên 3 cho ta biết xác suất tìm thấy hạt (đường nét đứt là xác suất trong cơ học cổ điển, đường liền nét là xác suất trong cơ học lượng tử). Rõ ràng xác suất tìm hạt trong cổ điển và lượng tử là khác nhau. Trong miền cấm cổ điển (miền ngoài 2 đường thẳng vuông góc), thì xác suất cổ điển bằng 0, còn xác suất tìm hạt trong cơ học lượng tử khác 0. Khi x∞ thì xác suất trong cơ lượng tử tiến nhanh về 0. Nhưng khi n∞ (đồ thị dưới) 3 thì “khúc đuôi” của đường cong xác suất lượng tử càng ngắn, phân bố xác suất lượng tử hầu như trùng với phân bố xác suất cổ điển. 1

35242514478000

Sự khác biệt tiếp theo giữa dao động tử điều hoà trong cơ học cổ điển và cơ học lượng tử là ở trạng thái cơ bản. Trong cơ học cổ điển thì ở trạng thái cơ bản, năng lượng bằng 0. Trong cơ học lượng tử thì năng lượng ở trạng thái cơ bản lại bằng ħω. Năng lượng của hệ trong cơ học cổ điển thì liên tục, còn trong cơ học lượng tử thì năng lượng này lại gián đoạn và các mức năng lượng cách đều nhau.1

4 Phụ lục tính toán

4.1 Phụ lục 1 2

Ta định nghĩa hằng số a=ħmω có thứ nguyên chiều dài. Ta đặt u=xa=mωħx, suy ra u không có thứ nguyên. Ta đã biết ħω có thứ nguyên năng lượng nên ta đặt , ε=2Eħω. Rõ ràng ε không có thứ nguyên.2

Thế u=xa=mωħx=>x2=ħmωu2=>dx2=ħmωdu2, ε=2Eħω vào phương trình

-ħ22m∂2∂x2+mω2x22nx=Ennx, ta được:

-ħω2∂2∂u2+ħωu22x=ħωϵ2x=>∂2(u)∂u2=(u2-ϵ)(u)

4.2 Phụ lục 2 2

∂2(u)∂u2=(u2-ϵ)(u)

limu→±∞u2-ϵ≈u2

Nên limu→±∞∂2(u)∂u2≈u2(u) (*)

Suy ra u=Aexpu22. Sau đó đạo hàm, ta có:

∂∂u=u

∂2∂u2=+2u2

limu→±∞∂2(u)∂u2≈2u2(u) (**)

So sánh (*) và (**) ta có 2=1=>=±1

Nên ta có nghiệm phương trình là u=Bexpu22+Aexp-u22.

Nghiệm trên phải hữa hạn tại vô cực nên ta bỏ thành phần đầu của nghiệm trên. Vậy nghiệm là u=Aexp-u22.

Tài liệu tham khảo

1. Dũng, H. (1999). Nhập môn Cơ học lượng tử (Tập 1). NXB GIÁO DỤC.

2. Allan, A. (2013). Quantum Harmonic Oscillator: Brute Force Method (Lecture 8, MIT OpenCourseWare). Massachusetts Institute of Technology.

3. http://comp-physics.blogspot.com/2013/01/maple-qho.html

Downlaod video thí nghiệm

Chúng tôi hiện có hơn 60 nghìn tài liệu để bạn tìm

File mới nhất

* ĐỀ THI THỬ THPTQG 2019 LẦN 7 THẦY TOẢN TUYENSINH247.COM (GIẢI CHI TIẾT)
Ngày 18/04/2019
* ĐỀ THI THỬ THPTQG BOOKGOL 2019 LẦN 1 (GIẢI CHI TIẾT)
Ngày 18/04/2019
* Giải chi tiết một số câu hay trong đề KSCL sở Nam Định (thi ngày 14/4)
Ngày 18/04/2019
* VẬT LÝ 11, CÓ ĐÁP ÁN
Ngày 18/04/2019
* Đề cương vật lý 10 HKII (LT & BT)
Ngày 18/04/2019
File mới upload

Ngày này hằng năm

* File word đề thi thử môn vật lí lần 2 2015- Đại học Vinh (có bài giải đính kèm)
Ngày 21/04/2015
* Hướng dẫn giải đề thi thử THPT Quốc gia lần 2 trường chuyên Vinh năm 2018
Ngày 24/04/2018
* Thi thử PBC L1- 2013 có đáp án
Ngày 20/04/2013
* Cực trị điện và một vài mẹo nhớ
Ngày 24/04/2015
* Đề chuyên Vinh lần 3 năm 2017 và giải chi tiết các câu vận dụng cao.(thầy HOÀNG SƯ ĐIỂU. TP HUẾ).
Ngày 25/04/2017
File mới upload

Được tải nhiều nhất tháng trước

File icon Đề THPT Chuyên Hà Tĩnh lần 5 năm 2016 (Có lời giải chi tiết)
3,401 lượt tải - 3,395 trong tháng
File icon ĐỀ THI THỬ THPTQG 2016 (SÁT CẤU TRÚC CỦA BỘ + ĐÁP ÁN)
2,100 lượt tải - 2,090 trong tháng
File icon Đề có cấu trúc 60%CB - 40%NC số 15 - có lời giải
2,333 lượt tải - 2,068 trong tháng
File icon THI THỬ THPT QUỐC GIA BÁM SÁT VỚI BỘ
1,895 lượt tải - 1,895 trong tháng
File icon ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA SÁT VỚI BỘ (CÓ ĐÁP ÁN)
1,879 lượt tải - 1,878 trong tháng
File download nhiều

Bình luận tài nguyên

.

.

ĐỀ THI THỬ THPTQG CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH 2019 LẦN 1 (GIẢI CHI TIẾT)

ĐỀ THI THỬ THPTQG CỤM 8 TRƯỜNG CHUYÊN 2019 LẦN 2 (GIẢI CHI TIẾT)

Full Dạng Tổng Ôn THPT Quốc Gia môn Vật Lý 2019 - Full đáp án.


Cầu vồng   |   Đăng nhập Đăng nhậpnew
Đang online (595)