Logo Thư Viện Vật Lý
Banner Thư Viện Vật Lý

> > > Hệ hạt đồng nhất, nguyên lý Pauli, Nguyên lý đối xứng của hệ hạt đồng nhất

Hệ hạt đồng nhất, nguyên lý Pauli, Nguyên lý đối xứng của hệ hạt đồng nhất

* dang sa ly - 811 lượt tải

Chuyên mục: bài báo tiếng Việt

Để download tài liệu Hệ hạt đồng nhất, nguyên lý Pauli, Nguyên lý đối xứng của hệ hạt đồng nhất các bạn click vào nút download bên dưới.

Mời bạn truy cập vào kho download tài nguyên với thư viện giáo án điện tử, thư viện đề kiểm tra - trắc nghiệm và nhiều tài nguyên quý giá khác nữa.

Nếu bạn thích tài liệu Hệ hạt đồng nhất, nguyên lý Pauli, Nguyên lý đối xứng của hệ hạt đồng nhất , click nút "Cảm ơn" hoặc "Thích" và chia sẻ cho bạn bè mình.

Hãy Đăng kí để nhận file mới qua email
Download reader Hướng dẫn

Chứng minh Tính chất đối xứng của hệ hạt fermion và boson
► Like TVVL trên Facebook nhé!
Luong tu thu vi
Hỗ trợ  Upload
Thêm vào bộ sưu tập

Mã nhúng hiện file trên blog của bạn:

* Bạn muốn Viết công thức toán tại comment Facebook này, hãy đọc bài hướng dẫn tại đây: Cách gõ công thức toán trong Facebook
13 Đang tải...
Chia sẻ bởi: dang sa ly
Ngày cập nhật: 16/10/2013
Tags: Hệ hạt đồng nhất, nguyên lý Pauli, Nguyên lý đối xứng
Ngày chia sẻ:
Tác giả dang sa ly
Phiên bản 1.0
Kích thước: 260.89 Kb
Kiểu file: docx
Hãy đăng kí hoặc đăng nhập để tham gia bình luận

  • Tài liệu Hệ hạt đồng nhất, nguyên lý Pauli, Nguyên lý đối xứng của hệ hạt đồng nhất là file được upload bởi thành viên của Thư Viện Vật Lý như đã trình bày trên. Cộng đồng Thư Viện Vật Lý hết sức cảm ơn tác giả đã chia sẻ tài liệu này.

    Rất mong các bạn đóng góp bằng cách upload file để kho tài liệu của chúng ta thêm phong phú.

Dưới đây là phần văn bản trích từ tài liệu

Chú ý:

- Có thể font chữ sẽ không hiển thị đúng, bạn nên click nút download để tải về máy đọc cho hoàn thiện.

- Download bộ font .VnTimes, VNI-Times đầy đủ nếu máy bạn chưa có đủ font tiếng Việt.

Contents

TOC \o "1-3" \h \z \u MỞ ĐẦU PAGEREF _Toc351006772 \h 2

Chương IHÀM SÓNG CỦA HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT PAGEREF _Toc351006773 \h 3

Chương IIMỐI TƯƠNG QUAN SPIN – THỐNG KÊ PAGEREF _Toc351006774 \h 7

I/ Định nghĩa hệ vector cơ sở chuyển spin PAGEREF _Toc351006775 \h 8

II/ Sự đồng nhất PAGEREF _Toc351006776 \h 9

III/ Hoán đổi vòng PAGEREF _Toc351006777 \h 12

Chương III. TƯƠNG TÁC TRAO ĐỔI PAGEREF _Toc351006778 \h 18

THAM KHẢO PAGEREF _Toc351006779 \h 22

TÍNH ĐỒNG NHẤT CỦA CÁC HẠT LƯỢNG TỬ: HÀM SÓNG, SPIN VÀ TƯƠNG TÁC TRAO ĐỔI

MỞ ĐẦU

Hệ hạt đồng nhất được hiểu là hệ gồm các hạt có những đặc trưng giống nhau (khối lượng, điện tích, spin,…) trong những điều kiện giống nhau (trường ngoài), chúng có những động thái giống nhau. Có thể nêu ra hệ các proton đồng nhất, các electron đồng nhất, các notron đồng nhất…Trong cơ học lượng tử, do nguyên lý bất định, khái niệm quỹ đạo của hạt không còn ý nghĩa. Nếu vị trí của hạt được xác định tại một thời điểm nào đó, thì sau một khoảng thời gian vô cùng nhỏ, vị trí của hạt đã trở nên bất định. Do đó, ta không thể nhận biết được vị trí của hạt hoặc phân biệt các hạt với nhau. Có thể nói, trong cơ học lượng tử các hạt đã mất hoàn toàn cá tính của chúng. Như vậy, trong một tập hợp các hạt đồng nhất chỉ tồn tại các trạng thái không thay đổi khi hoán vị các hạt. Đó là nội dung của nguyên lý về tính không phân biệt được các hạt đồng nhất, và nó đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu hệ hạt đồng nhất. Trong bài luận này chúng ta sẽ làm rõ hai vấn đề, thứ nhất là thuộc tính đồng nhất của các trạng thái của một hệ hạt đồng nhất khi hoán đổi cặp hạt bất kỳ. Các hạt đồng nhất với spin bán nguyên (fermions) tuân theo thống kê Fermi-Dirac: hàm sóng là hoàn toàn phản đối xứng dưới sự chuyển đổi của các hạt. Các hạt đồng nhất với spin nguyên (bosons) tuân theo thống kê Bose-Einstein: hàm sóng là hoàn toàn đối xứng; thứ hai là tương tác trao đổi giữa các hạt đồng nhất.

Chương IHÀM SÓNG CỦA HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT

Để đơn giản ta xét hàm sóng ψ(q1, q 2, t) của hệ gồm hai hạt 1 và 2, trong đó q đại diện cho các biến x, y, z và sz. Ta hoán vị hai hạt cho nhau, theo nguyên lý về tính không phân biệt được các hạt đồng nhất, trạng thái của hệ khi đó không thay đổi, do đó hàm sóng ψ chỉ có thể thay đổi một thừa số pha không quan trọng. Ta viết

ψ(q1, q2, t) = eiαψ(q2, q1, t) = ei2αψ(q1, q2, t) (1.1)

Từ đó suy ra e2iα = ±1.

Như vậy khi hoán vị hai hạt đồng nhất, hàm sóng

ψ(q1, q2,) = ±ψ(q2, q1) (1.2)

nghĩa là có hai khả năng xảy ra, hàm sóng hoặc đối xứng (không đổi khi hoán vị hai hạt) hoặc phản đối xứng (đổi dấu khi hoán vị hai hạt).

Rõ ràng là, hàm sóng của tất cả các trạng thái của cùng một hệ hạt phải có tính đối xứng duy nhất.Mở rộng kết quả này sang cho hệ có N hạt đồng nhất bất kỳ. Ta dễ dàng nghiệm được rằng, nếu hàm ψ của hệ hạt là đối xứng với cặp hạt k và j, j và i, nhưng lại phản xứng với cặp hạt i và k thì hàm sóng sẽ bằng không. Thực vậy, ta viết

ψ(…qi, …qk, …qj,…) = − ψ(…qk, …qi, …qj, …) = − ψ(…qk, …qj, …qi, …) = − ψ(…qj, …qk, …qi,…) = − ψ(…qi, …qk, …qj,…) = 0. (đpcm). (1.3)

Cũng lưu ý rằng, nếu tại một thời điểm nào đó hệ ở trong trạng thái đối xứng (hoặc phản đối xứng) thì hệ sẽ mãi mãi ở trong trạng thái đó. Thực vậy, ta đưa vào toán tử hoán vị Pij được xác định bởi hệ thức

Pij ψ(…qi, …qk, …qN, t) = ψ(…qk, …qi, …qN, t) = ± ψ(…qi, …qk, …qN, t) (1.4)

nên Pij ψ= ± ψ. (1.5)

Mặc khác Hamiltonian của hệ hạt đồng nhất không thay đổi khi hoán vị hạt hạt, do đó Pij (Ĥψ) = Ĥ(Pij ψ), hay toán tử hoán vị giao hoán với halmintonian:

ĤPij – Pij Ĥ = 0 (1.6)

Nhắc lại: trong thế giới vi mô xét một đại lượng vật lý A, được gọi là bảo toàn khi dAdt= ∂A∂t+ iħ[H, A] = 0. Toán tử hoán vị không phụ thuộc rõ ràng vào thời gian và giao hoán với toán tử halmintonian, nên đại lượng tương ứng với toán tử hoán vị là bảo toàn.

Quay lại bài toán hệ hai hạt đồng nhất không tương tác. Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hệ có dạng

i=12-ħ22moΔi + U(qi)ψ(q1, q2) = E ψ(q1, q2) (1.7)

Ta đã chứng tỏ được rằng nghiệm của phương trình trên có thể tìm được dưới dạng

ψ(q1, q2) =ψk1(q1) ψk2(q2) (1.8)

ở đây k1, k2 là các số lượng tử của các trạng thái, trong đó có thể có các hạt. Mỗi ki đại diện cho một bộ đủ các số lượng tử đặc trưng cho trạng thái của một hạt riêng lẻ. Mở rộng cho hệ N hạt thì có thể có một số ki trùng nhau. Hàm ψki là nghiệm của phương trình Schrodinger cho một hạt

-ħ22moΔiψki(qi) + U(qi)ψki(qi) = Ekiψki(qi) (1.9)

Hàm (1.8) không thỏa mãn các yêu cầu về tính đối xứng. Trong trường hợp tổng quát nó không thuộc về các hàm đối xứng, cũng không thuộc về các hàm phản đối xứng. Phương trình (1.7) là tuyến tính, nên chồng chất các nghiệm loại (1.8) cũng là một nghiệm của nó. Để thu được hàm sóng có tính đối xứng yêu cầu, cần phải chọn một chồng chất thích hợp các hàm sóng.

Xét hai hàm sóng

ψ1(q1, q2) = ψ1(q1) ψ2(q2) , ψ2(q1, q2) = ψ2(q1) ψ1(q2) (1.10)

trong đó các chỉ số 1 và 2 ở các hàm sóng ký hiệu hai trạng thái khác nhau của hạt. Từ hai hàm trên ta có thể thiết lập hai tổ hợp

ψs = c1 [ψ1(q1) ψ2(q2) + ψ2(q1) ψ1(q2)] (1.11)

ψa = c2 [ψ1(q1) ψ2(q2)

ψ2(q1) ψ1(q2)] (1.12)

Hàm sóng ψs là đối xứng với phép hoán vị hai hạt, còn hàm ψa là phản đối xứng với phép hoán vị đó. Các hằng số c1 và c2 xác định được từ điều kiện chuẩn hóa. Dễ dàng thấy rằng sự hoán vị các tọa độ q1 và q2 làm bất biến (1.11) và đổi dấu (1.12). Điều kiện chuẩn hóa cho ψs và ψa được phát biểu

|ψs|2dV1dV2 = 1 , |ψa|2dV1dV2 = 1 (1.13)

Từ đây ta kết hợp tính trực chuẩn của các hàm ψ1 và ψ2 , ta có: c1 = 12, c2 = 12 .

Tóm lại ta tìm được hàm sóng đối xứng và phản xứng chuẩn hóa

ψs = 12 [ψ1(q1) ψ2(q2) + ψ2(q1) ψ1(q2)] (1.11’)

ψa = 12 [ψ1(q1) ψ2(q2)

ψ2(q1) ψ1(q2)] (1.12’)

Mở rộng các kết quả thu được sang hệ N hạt đồng nhất không tương tác. Nếu các hạt là bosons thì hàm sóng ψ của hệ phải đối xứng. Chồng chất các hàm (1.11’) có tính chất như vậy, do đó có thể chọn làm hàm đối xứng của hệ:

ψs = c1[k1, k2,…,kN] ψk1(q1) ψk2(q2)… ψkN(qN) (1.14)

Trong đó phép lấy tổng được thực hiện theo tất cả các phép hoán vị khả dĩ của các chỉ số k1, k2, …, kN. Nếu tất cả các chỉ số này có những giá trị không giống nhau, thì số các phép hoán vị, và do đó số các số hạng trong tổng (1.14) sẽ bằng N! Nhưng cần lưu ý rằng một số hạt có thể ở trong những trạng thái của một hạt như nhau. Nếu trong trạng thái ki có ni hạt thì ni! phép hoán vị lẫn nhau của ni hạt này tương ứng với một số hạng trong tổng (1.14), do đó số các số hạng trong tổng (1.14) sẽ bằng N!ni!. Giả thiết rằng trong trạng thái k1 có n1 hạt, trong trạng thái k2 có n2 hạt,…( tổng n1 + n2 +… = N). Khi đó số các số hạng trong (1.14) sẽ bằng N!n1!n2!… . Dựa vào tính trực chuẩn của các hàm ψki, ta đi tới 1 = c1*c1N!n1!n2!…

Do đó

c1 = n1!n2!…N! 12 (1.15)

Vậy hàm sóng đối xứng chuẩn hóa của hệ hạt N hạt bosons có dạng

ψs = n1!n2!…N! 12[k1, k2,…,kN] ψk1(q1) ψk2(q2)… ψkN(qN) (1.16)

Đối với hệ hạt fermions hàm sóng ψ là tổ hợp phản xứng của các tích (1.12). Chẳng hạn, đối với hệ hai ferminons

ψa(q1, q2) = 12 [ψk1(q1) ψk2(q2)

ψk1(q2) ψk2(q1)] (1.17)

Trong trường hợp tổng quát của hệ N hạt ferminons đồng nhất không tương tác, hàm sóng ψa được viết dưới dạng một định thức:

ψa = 1N! ψk1q1 ⋯ψk1qN⋮⋱⋮ψkNq1⋯ ψkNqN (1.18)

Sự hoán vị hai cột của định thức ở đây tương ứng với sự hoán vị hai hạt, định thức khi đó đổi dấu.

Từ biểu thức (1.18) rút ra một kết luận quan trọng: nếu trong các chỉ số k1, k2, … kN có hai chỉ số giống nhau, thì hai hàng của định thức sẽ giống nhau và toàn bộ định thức đồng nhất bằng không. Định thức chỉ khác không khi tất cả các chỉ số k1, k2, … kN khác nhau. Như vậy trong hệ hạt fermions đồng nhất không thể có hai hạt (hay nhiều hơn hai hạt) đồng thời ở trong cùng một trạng thái, hay nói một cách khác trong cùng một trạng thái lượng tử chỉ có thể có tối đa một fermion. Đó là nội dung của nguyên lý loại trừ Pauli (1925).

Chương IIMỐI TƯƠNG QUAN SPIN – THỐNG KÊ

Trong chương này chúng ta cùng nhau tìm lời giải cho bài toán sau: Tại sao hàm sóng của hệ hạt có spin nguyên, tuân theo thống kê Bose – Einstein, là hàm đối xứng; còn hàm sóng của hệ hạt có spin bán nguyên, tuân theo thống kê Fermi – Dirac, là hàm phản đối xứng? Dĩ nhiên chúng ta chưa thể nào tìm ra một lời giải hoàn toàn mới và rất xuất sắc, do đó, bằng cách xem xét lại lời giải của các bậc tiền bối và diễn đạt lại bằng ngôn ngữ dễ hiểu nhất, thì phần nào đó cũng được xem là hoàn thành mục tiêu.

Như đã biết, trong phép biểu diễn tọa độ thông thường, dựa trên một hệ vector cơ sở hiệu chỉnh, người ta cũng đã xây dựng được hàm sóng mô tả trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất với spin S trong không gian ba chiều. Ý tưởng quan trọng là ở chổ khi hoán vị hai hạt thì kéo theo spin S cũng chuyển đổi và điều này ảnh hưởng đến ký hiệu hàm sóng sau khi hoán vị. Bằng cách xây dựng một phép biểu diễn mới dựa trên hệ vector cơ sở mới, gọi là hệ vector cơ sở chuyển spin, cơ học lượng tử tương đối tính đã chỉ ra được sự ràng buộc chặt chẽ giữa tọa độ và spin của hệ hạt đồng nhất.

I/ Định nghĩa hệ vector cơ sở chuyển spin

Như được giới thiệu ở trên, hệ vector cơ sở mới này, yêu cầu có tính chuyển đổi trơn và song song, được tạo ra bởi một toán tử gọi là toán tử hoán vị vòng U(r). Cũng nên giới thiệu từ đầu rằng các biểu thức trong phép biểu diễn mới này, cơ bản được tạo ra từ bốn toán tử dao động tử điều hòa theo khái niệm của Schwinger.

Hệ vector cơ sở mới được định nghĩa thông qua ánh xạ sau:

S2 → CNS

r

|M(r) ∶= U(r)|M (2.1)

|M(r) : hệ vector cơ sở chuyển spin phụ thuộc r.

|M : hệ vector cơ sở hiệu chỉnh (trong phép biểu diễn tọa độ thông thường)

U(r) : toán tử hoán vị vòng phụ thuộc r (còn gọi là toán tử đơn vị, mô tả phép biến đổi giữa hệ vector cơ sở chuyển spin và hệ vector cơ sở hiệu chỉnh).

Hệ vector cơ sở này thỏa mãn:

i/ smoothness: the basis must be a smooth and non – singular function for all r

0, e.g there must be no Dirac strings.

ii/ quy tắc “trao đổi”

|M (-r) = (−1)2S|M(r) (2.2)

iii/ Điều kiện “chuyển đổi song song” M'(r(t))|ddtM(r(t)) = 0 thỏa mãn với mọi M và M’, và với mỗi đường cong trơn t

r(t).

Trong bài toán hệ hai hạt đồng nhất với spin S, ta đưa vào các ký hiệu thuận tiện

M

{m1, m2}, M

{ m2, m1} (2.3)

ở đây, m1 và m2 lần lượt là thành phần hình chiếu lên trục z của spin của hạt 1 và 2 (m1, m2

S). Rõ ràng |M(r) đã bao hàm cả tọa độ và spin của hệ.

II/ Sự đồng nhất

Khi đã xây dựng được hệ vector cơ sở chuyển spin, bước tiếp theo ta định nghĩa hàm sóng trong phép biểu diễn mới

|Ψ(r) = MψM(r)

|M(r) (2.4)

trong đó

M(r) là vector (2S + 1)2 chiều, mô tả sự phụ thuộc không gian của hàm sóng.

Hàm sóng của hai hạt đồng nhất với spin S phụ thuộc vào vị trí r1 và r2 của hai hạt đó. Để dễ thấy sự hoán vị giữa hai hạt, ta đưa vào vector vị trí tương đối r = r2

r1, khi hoán vị xảy ra thì r trở thành

r. Vì tính không thể phân biệt được các hạt đồng nhất nên chúng ta phải đồng nhất các hệ trước và sau khi hoán vị, nghĩa là đồng nhất các điểm r và –r (vì chúng tương ứng với sự nội chuyển vị trí và spin của các hạt). Trong cơ học lượng tử, tính đơn trị của hàm sóng yêu cầu:

|Ψ(r) = |Ψ(-r). (2.5)

Từ (2.4

|Ψ(-r) = MψM(

r) |M (-r)

= MψM(

r)( -1)2S |M(r), (2.6)

vì vậy tính đơn trị dẫn đến

ψM(-r) = ( -1)2S ψ M(r). (2.7)

Quan hệ này tương tự với quan hệ spin – thống kê trong biểu diễn thông thường. Tuy nhiên, trước khi có thể khẳng định chắc chắn thì chúng ta phải chứng minh được rằng các hệ số

ψM(r) = M(r)ΨM(r), (2.8)

trong (2.4) cũng thỏa mãn phương trình Schrodinger giống như các hệ số trong hệ vector cơ sở hiệu chỉnh. Trong hệ vector cơ sở hiệu chỉnh, các hàm sóng là

|Ψ(r)fixed = MψM,fixed(r)|M(r). (2.9)

Do đó

ψM,fixed(r) = MΨ(r)fixed. (2.10)

Để chứng minh được rằng các đại lượng được định nghĩa bởi (2.8) và (2.10) là như nhau, trước tiên chúng ta phải định nghĩa được các biến số động học (ví dụ như động lượng và spin) trong cơ sở mới, các biến số động học này phải thỏa mãn các quan hệ giao hoán giống như trong cơ sở hiệu chỉnh. Trong cơ sở hiệu chỉnh có những biến số động học nào thì trong cơ sở mới cũng có các biến số động học đó. Trong trường hợp này, toán tử động lượng trong cơ sở hiệu chỉnh có dạng

Pfixed =

, (2.11)

thì trong cơ sở mới sẽ được định nghĩa

P(r) = U(r) PfixedU+(r) (2.12)

Một cách tương tự, toán tử spin (đã được chuyển cơ sở) S(r) (= {S1, S2}) cũng được định nghĩa

S(r) = U(r) SfixedU+(r) (2.13)

Như vậy trong cơ sở mới Hamiltonian trong phương trình Schrodinger được định nghĩa theo P(r) và S(r), tương ứng trong cơ sở hiệu chỉnh là Pfixed và Sfixed. Đối với các biến động lượng, một phép toán đơn giản cho ta kết quả

M(r)Pr|Ψ(r) =

ψM(r), (2.14)

dĩ nhiên là

MPfixed|Ψ(r)fixed =

ψM,fixed(r) (2.15)

và tương tự cho các biến spin. Vì vậy các biến số “hiệu chỉnh” và biến số “chuyển đổi” được định nghĩa trong (2.8) và (2.10) thật sự cùng thỏa mãn phương trình Schrodinger (có điều kiện biên) cũng như cùng hàm số. Do yêu cầu hàm sóng là hàm đơn trị nên (2.7) thực sự thể hiện được mối liên hệ spin – thống kê. Trong thực tế, chúng ta đã chứng minh được rằng dưới sự hoán đổi |Ψ(r)fixed không nhất thiết phải đơn trị, nhưng đối với |Ψ(r) = U(r) |Ψ(r)fixed bắt buộc đơn trị.

Cần phải biết rằng, tất cả những gì chúng ta đang làm là xây dựng cơ học lượng tử cho “bó hai spin” ( a “two – spin bundle”) trong một không gian đại số mở rộng, gọi là không gian Hilbert hai spin, mà hệ vector cơ sở |M(r) có vai trò như một chiếc cầu.

III/ Hoán đổi vòng

Như chúng ta đã thấy throng phần trên, cần thiết phải xây dựng một phép biểu diễn mở rộng của spin, một mặt vẫn kết hợp chặt chẽ với phép biểu diễn thông thường, mặt khác cho phép thêm vào các phép toán mà có thể tạo ra sự hoán đổi bằng (flat exchange). Trong giới hạn này, các phép toán được thêm vào không mang ý nghĩa vật lý và vai trò duy nhất của chúng là thực hiện sự hoán đổi. Như đã giới thiệu ở phần mở đầu, ta có thể đạt được điều này cũng như tính toán được ký hiệu chuyển đổi (là thừa số pha xuất hiện khi hoán vị throng cơ sở mới) bằng cách áp dụng sự biểu diễn spin trong các thuật ngữ dao động tử điều hòa của Schwinger. Với một spin đơn, cần hai dao động tử độc lập – dao động tử a, với toán tử sinh hủy a+ và a; dao động tử b, tương ứng b+ và b. Từ đó, ta xây dựng S = (Sx, Sy, Sz):

S = 12a+b+σab,

S+ ≡ Sx + throng Sy = a+b, S˗ ≡ Sx

throng Sy = b+a,

Sx = 12(a+b+ b+a), Sy = i2(b+a – a+b),Sz = 12(a+a – b+b), (2.16)

ở đây σ chính là vector của các ma trận Pauli; σz = 100-1. Các thành phần của S thỏa mãn các quy tắc giao hoán của momen xung lượng, nghĩa là:

S × S = iS. (2.17)

(Cần lưu ý các biểu diễn đều ở dạng không thứ nguyên). Throng phép biểu diễn này, các giá trị riêng của S2 và Sz tương ứng với các số lượng tử S và m, là số trạng thái của các dao động tử: nếu như có na lượng tử throng dao động tử a và nb lượng tử throng dao động tử b, thì từ (2.16) :

S = 12(na + nb), m = 12(na – nb). (2.18)

(Xem lại bài toán dao động tử điều hòa). Với hai spin, chúng ta cần bốn dao động tử: a1, b1, a2, b2. Các toán tử spin riêng lẻ S1 và S2 được xây dựng giống như (2.16). Thay vì hoán đổi a và b thì ta sẽ hoán đổi 1 và 2, khi đó sự hoán vị sẽ kéo theo nội chuyển spin. Sau đây, ta tiếp tục làm quen với một số tóan tử mới cũng được định nghĩa dựa trên các thuật ngữ của dao động tử điều hòa, đầu tiên là toán tử Ea

Ea = 12(a1+a2+)a1a2,

Ea+ ≡ Eax + Eay = a1+a2, Ea− ≡ Eax - Eay = a2+a1

Eaz = 12(a1+a1 - a2+a2), (2.19)

một cách tương tự cho toán tử Eb. Rõ ràng là [Ea, Eb] = 0. Các thành phần của Ea thỏa mãn các hệ thức giao hoán momen xung lượng, các thành phần của Eb cũng vậy. Sự kết hợp tuyến tính:

E = Ea + Eb (2.20)

duy nhất có chung thuộc tính này, đó là

E × E = iE. (2.21)

Hơn thế nữa, bằng vài phép toán cơ bản, chúng ta có thể chứng minh được rằng

[Ez, S1] = 0, [Ez, S2] = 0, [E, Stot] = 0, (2.22)

Trong đó Stot = S1 + S2. Tuy nhiên, S1 và S2 không giao hoán với E± = Ex ± Ey, và cũng không giao hoán với S12 và S22. Ngoài ra, ta cũng chứng minh được

E2 = Stot2. (2.23)

Chúng ta sẽ gọi E là momen xung lượng hoán đổi, bởi vì các hoán đổi vòng mà E tạo ra có thể thỏa mãn yêu cầu (2.2). Chúng ta bắt đầu với một phép vẽ hình học đơn giản: khi đường nối các hạt được chuyển từ ez sang r, tương ứng với sự hoán đổi vòng, thì trạng thái hai spin cũng bị thay đổi. Một lựa chọn mang tính đối xứng cho chuyển đổi này là trục n(r) trực giao với cả ez và r. Nếu (θ, ϕ) là các góc cực xác định hướng của r, thì

n(r) = ez

r = −exsinϕ + eycosϕ. (2.24)

Với sự lựa chọn này, hệ vector cơ sở chuyển đổi được tạo ra bởi toán tử xoay vòng U(r),

U(r) = exp{−iθn(r)∙E}. (2.25)

U tác động vào không gian mở rộng của các trạng thái spin, mà số chiều của không gian này bằng 16(4S + 1)(4S + 2)(4S + 3), con số này cũng là số cách mà 4S lượng tử có thể được sắp xếp giữa bốn dao động tử (E cho phép Stot bất biến).

Bây giờ coi trạng thái của hai spin tương ứng với bộ bốn số n1a, n1b, n2a, n2b, cụ thể là

|n1a, n2a, n1b, n2b = Ca1+n1aa2+n2a(b1+)n1b(b2+)n2b|0, 0, 0, 0, (2.26)

trong đó C là hằng số chuẩn hóa, C = 1n1a!n2a!n1b!!n2b! . Mở rộng (2.18), ta có thể viết lại (2.26) như sau:

|n1a, n2a, n1b, n2b = |S1+m1, S2+ m2, S1- m1, S2- m2 ≡ |S1, S2; M (2.27)

Kết hợp (2.19), (2.20) có

Ez |S1, S2;M = (S1 - S2)|S1, S2;M. (2.28)

Đối với spin đồng nhất, S1 = S2 = S, và khi ta không cần viết S một cách rõ ràng thì chúng ta sẽ trở lại ký hiệu mà ta đưa ra ở trên, khi đó

|S1, S2;M ≡|M. (2.29)

Từ (2.28), chúng ta thấy, đối với các spin đồng nhất, thu được kết quả quan trọng

Ez|M = 0. (2.30)

Điều này đảm bảo khả năng bất biến của U: bất kỳ sự xoay vòng không tác động nào theo trục z, được áp dụng trước U thường được sử dụng để tạo ra cơ sở chuyển đổi từ cơ sở hiệu chỉnh, sẽ không tạo thừa số pha, bởi vì

Exp(-iα(r)Ez)|M = |M. (2.31)

Bây giờ chúng ta phải chứng minh rằng U thực sự tạo ra sự hoán đổi spin y theo (2.2). Để tính được giá trị tác động của toán tử xoay vòng (2.25), đầu tiên cần chú ý rằng

(2.32)

và Ua và Ub giao hoán nhau (do [ai+, bj+] = 0), do đó có thể xem tác dụng của chúng là độc lập. Vì lý do này kết hợp với phép biểu diễn Schwinger ta hoàn toàn tính được giá trị tác động của Ua và Ub lên các trạng thái của spin bất kỳ trong thuật ngữ của ma trận cấp 2

2 nhân với các vector của toán tử sinh.

Như vậy Ua(r) gây ra phép biến đổi

(2.33)

Tường minh hơn

(2.33’)

và tương tự cho Ub.

Theo đó, cũng hướng dẫn rằng đầu tiên để U(r) tác dụng lên trạng thái số tổng quát (2.26), trạng thái mà spin không nhất thiết giống nhau. Từ (2.32) và (2.33),

(2.34)

trong đó

(2.35)

Chú ý rằng khi r →-r, thì thay thế θ bởi π - θ và ϕ bởi ϕ + π; Các thừa số chung trong (2.34) có thể được xác định bằng cách rút các thừa số pha bên trong và như vậy, một cách hiển nhiên mở rộng ký hiệu ở trên cho vector cơ sở đã được chuyển đổi,

(2.36)

từ đây cũng chỉ ra rằng toán tử E thực sự đã tạo ra sự trao đổi của các spin.

Một cách viết khác của (2.36) là (so sánh với (2.27))

(2.37)

Tới đây chúng ta cơ bản đã hoàn thành nhiệm vụ thiết lập mối quan hệ giữa spin và thống kê theo cơ học lượng tử tương đối tính.

Chương III. TƯƠNG TÁC TRAO ĐỔI

Tính không phân biệt được của các hạt đồng nhất dẫn tới sự tồn tại của một loại tương tác lượng tử đặc thù giữa các hạt gọi là tương tác trao đổi.

Ta xét một hệ gồm hai hạt có spin

, giữa chúng có một tương tác không có liên quan gì tới tương tác giữa spin của các hạt. Giả thiết tương tác này đủ nhỏ để có thể được coi là một nhiễu loạn đối với hệ các hạt không tương tác. Ký hiệu nhiễu loạn đó bằng toán tử

, trong đó

là khoảng cách giữa các hạt.

Năng lượng tương tác trung bình trong phép gần đúng cấp một có thể tính theo công thức

(3.1)

Công thức trên được viết cho một hạt không có spin. Đối với một hệ gồm hai hạt có spin, công thức trên cần được viết dưới dạng

(3.2)

ở đây phép lấy tổng được thực hiện cho tất cả các giá trị của các biến spin (chỉ số n bỏ đi vì không cần thiết).

Hàm

mô tả trạng thái không nhiễu loạn, nghĩa là trạng thái của các hạt không tương tác. Dạng của hàm sóng này phụ thuộc vào spin toàn phần của hệ. Ta đã biết, với S= 0 hàm spinơ là phản đối xứng, vậy hàm tọa độ tương ứng phải là đối xứng, nghĩa là có dạng

. (3.3)

Với S= 1 hàm spinơ đối xứng, do đó hàm tọa độ tương ứng phải là phản đối xứng:

. (3.4)

Với S= 0 hàm spinơ bằng 1, với S= 1 hàm spinơ có dạng

(3.5)

trong đó

là số lượng tử của hình chiếu spin toàn phần (

).

Thay vào trong (3.2) hàm

cho trường hợp S=1. Vì toán tử

không tác động lên hàm spinơ, nên có thể đưa hàm spinơ ra ngoài dấu toán tử. Kết quả thu được:

(3.6)

Như vậy trong công thức (3.2), dấu tổng có thể bỏ đi và

được hiểu ngầm là phần tọa độ của hàm sóng. Với nhận xét đó ta viết biểu thức (3.2) dưới dạng sau:

(3.7)

Dấu + ứng với trường hợp S = 0, dấu

ứng với S = 1. Dễ dàng nhận thấy rằng, hai tích phân đầu trong dấu ngoặc là đồng nhất. Thực vậy, chúng chỉ khác nhau ở ký hiệu 1 và 2. Do tính không phân biệt được các hạt đồng nhất, một sự thay đổi ký hiệu như thế không thể ảnh hưởng đến đại lượng tích phân. Tương tự như vậy đối với hai tích phân sau trong dấu ngoặc. Do đó, kết hợp từng cặp tích phân lại, ta viết được

(3.8)

Hiệu chính cấp một cho năng lượng của hai hạt có spin ½ gồm hai phần, ta chỉ quan tâm đến phần thứ hai ±A phụ thuộc vào sự định hướng tương hổ của spin các hạt (vào spin toàn phần của hệ) mặc dù tương tác giữa các spin không được toán tử V nhắc đến. Phần A được gọi là năng lượng trao đổi. Tên gọi như vậy là do, trong các hàm đứng trước toán tử V dưới dấu tích phân và trong các hàm đứng sau toán tử V các hạt trao đổi chổ cho nhau. Từ đó suy ra rằng mỗi hạt như thể đồng thời ở trong cả hai trạng thái. Chú ý rằng năng lượng trao đổi thu được cả trong trường hợp khi toán tử V(r12) có xét đến tương tác giữa các momen từ spin, nghĩa là toán tử V có tác động lên các phần spino của hàm sóng. Cần nhấn mạnh rằng “tương tác” trao đổi không nói lên “một lực” nào cả. Nó là hệ quả của hệ thức bất định và nguyên lý Pauli

Trong trường hợp khi tương tác giữa các hạt là tương tác Coulomb,

. Khi đó ta có:

(3.9)

được gọi là tích phân Coulomb, trong đó là các mật độ điện tích trung bình tạo bởi các hạt mang điện 1 và 2. Từ đó suy ra rằng, tích phân Coulomb xác định phần “cổ điển” của năng lượng tương tác tĩnh điện của các hạt.

(3.10)

A được gọi là tích phân “trao đổi”. Như đã lưu ý nó không có sự tương tự cổ điển. Nếu toán tử V chỉ xét đến tương tác tĩnh điện gữa các hạt thì năng lượng trao đổi là phần năng lượng tương tác Coulomb có liên quan đến sự giao hổ chuyển động của cả hai hạt, gây bởi sự đối xứng của các hàm sóng ψ

Các kết quả trên thu được thuộc về trường hợp khi các trạng thái của một hạt

không đồng nhất với nhau. Còn nếu các trạng thái đó trùng nhau (

) thì

, khi đó

trùng với biểu thức Q trong công thức (3.9), còn tích phân trao đổi A bằng không. Tóm lại, năng lượng tương tác trao đổi được xác định khi hai hạt không đồng nhất và bằng 0 khi hai hạt đồng nhất.

Cuối cùng cần nhấn mạnh rằng , mặc dù cho đến nay ta chỉ nói đến các hạt có spin bán nguyên, nhưng kết luận định tính vẫn được áp dụng cho các hạt có spin nguyên- các bosons.

THAM KHẢO

[1] Đặng Quang Khang (1996), Cơ học lượng tử.NXB Khoa học và kỹ thuật.

[2] Feynman, R. P., Leighton, R. B. & Sands, M.(1965), The Feynman lectures on physics. Addison-Wesley publishing company.

[3] Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. (1977), Quantum mechanics.

[4] Robbins, J. M. & Berry, M. V. (1997), Indistinguishability for quantum particles: spin, statistics and the geometric phase. Proc. Roy. Soc. Lond. A453, 1771-1790.

[5] Sakurai, J. J. (1994), Modern quantum mechanics. Addison-Wesley publishing company. Maxwell Macmillan Pergamon publishing corporate.

[6] Schwinger, J. (1965), In Quantum theory of angular momentum (ed. L. C. Biedenharm & H. Van Dam), pp. 229-279. New York: Academic.

Downlaod video thí nghiệm

Chúng tôi hiện có hơn 60 nghìn tài liệu để bạn tìm

File mới nhất

* Đề thi thử 2019 môn Toán THPT Chuyên Lương Văn Tụy - Ninh Bình – Lần 2 - File word có ma trận lời giải chi tiết
Ngày 18/02/2019
* Đề thi thử 2019 môn Toán THPT Chuyên Lê Thánh Tông - Quảng Nam - Lần 1 - 2019
Ngày 18/02/2019
* Đề thi thử 2019 môn Toán Đề tập huấn sở GD_ĐT TP Hồ Chí Minh - Đề 3 - 2019
Ngày 18/02/2019
* Đề thi thử 2019 môn Toán THPT chuyên Hạ Long – Lần 1 - 2019
Ngày 18/02/2019
* Đề thi thử 2019 môn Toán THPT Chuyên ĐH SPHN - Hà Nội - Lần 1 - 2019
Ngày 18/02/2019
File mới upload

Ngày này hằng năm

* Đề thi HSG 12 TP.HCM tháng 3/2016
Ngày 23/02/2017
* Đề và lời giải Trường chuyên Hà Tĩnh-2014-lần 1
Ngày 25/02/2014
* Tóm tắt lý thuyết & các dạng toán - Vật lý 12 (LTĐH 2012)
Ngày 23/02/2012
* Chuyên đề Sóng ánh sáng
Ngày 26/02/2013
* Chuyên đề Sóng ánh sáng
Ngày 25/02/2013
File mới upload

Được tải nhiều nhất tháng trước

File icon Đề THPT Chuyên Hà Tĩnh lần 5 năm 2016 (Có lời giải chi tiết)
3,401 lượt tải - 3,395 trong tháng
File icon ĐỀ THI THỬ THPTQG 2016 (SÁT CẤU TRÚC CỦA BỘ + ĐÁP ÁN)
2,100 lượt tải - 2,090 trong tháng
File icon Đề có cấu trúc 60%CB - 40%NC số 15 - có lời giải
2,333 lượt tải - 2,068 trong tháng
File icon THI THỬ THPT QUỐC GIA BÁM SÁT VỚI BỘ
1,895 lượt tải - 1,895 trong tháng
File icon ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA SÁT VỚI BỘ (CÓ ĐÁP ÁN)
1,879 lượt tải - 1,878 trong tháng
File download nhiều

Bình luận tài nguyên

ĐỀ THI THỬ THPTQG NGUYÊN HÃN HẢI PHÒNG 2019 LẦN 1 (GIẢI CHI TIẾT)

.

ĐỀ THI THỬ THPTQG CHUYÊN HƯNG YÊN 2019 LẦN 2 (GIẢI CHI TIẾT)

Cảm ơn thầy hậu nhiều!

Câu 39: đề chưa chuẩn: x^2+y^2=2.A^2 Nếu y =0 thì x^2 =2.A^2!!!! x<=A


Cầu vồng   |   Đăng nhập Đăng nhậpnew
Đang online (61)